四川省成都市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題[含答案]
四川省成都市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷及草稿紙上無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各組向量中，能作為基底的是（??）A.， B.，C. ， D. ，2. 在正方體中，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（ ） A. B. C. D. 3. 如圖，已知平面，且.在梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（ ）A.直線與可能為異面直線 B.直線相交于一點(diǎn)C. D.直線與可能為異面直線4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D. 5. 雷鋒塔，位于杭州西湖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，雷鋒塔頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得塔頂部的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（）A. B. C. D. 6.已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.7. 在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，若平面，，則（） A. B. C. D.8.已知函數(shù)在上有最大值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A.B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說(shuō)法正確的是（）A. 若，則B. 若向量，則向量在向量上的投影向量為C. 非零向量和滿足，則與的夾角為D. 點(diǎn)，與向量同方向的單位向量為10.在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)度可能是（）A.B.C. D. 11.已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（）A. B. C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上 D. 的最大值為12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.B.C.D.為偶函數(shù)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.14.在中，若，則__________.15.棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積為_(kāi)_________.16.已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為兩切點(diǎn)，那么的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題10分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，是實(shí)數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.18.（本小題12分）如圖，平面四邊形由等腰與等邊拼接而成，其中，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．19.（本小題12分）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．20.（本小題12分）如圖，在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使位于處，且．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大小．21.（本小題12分）在銳角中，角所對(duì)的邊分別是．已知，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若是中上的一點(diǎn)，且滿足，求與的面積之比的取值范圍．22.（本小題12分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．（Ⅰ）已知函數(shù)，求證：（?。?；（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；（Ⅱ）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．成都石室中學(xué)2023-2024學(xué)年度下期高2026屆5月月考數(shù)學(xué)試題（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷及草稿紙上無(wú)效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列各組向量中，能作為基底的是（?A?）A.， B.，C. ， D. ，2. 在正方體中，分別為棱和棱的中點(diǎn)，則異面直線和所成的角為（ C ） A. B. C. D. 3. 如圖，已知平面，且.在梯形中，，且，.則下列結(jié)論正確的是（ B ）A. 直線與可能為異面直線 B. 直線相交于一點(diǎn)C. D. 直線與可能為異面直線4.已知，則的大小關(guān)系為（ D ）A. B. C. D.5. 雷鋒塔，位于杭州西湖，某同學(xué)為測(cè)量雷鋒塔的高度，在雷鋒塔的正西方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，雷鋒塔頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得塔頂部的仰角為，則雷鋒塔的高度約為（ B ）A. B. C. D. 6.已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為（A）A. B. C. D.7. 在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，若平面，，則（ C ）A. B. C. D.8.已知函數(shù)在上有最大值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（D）A.B. C. D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.關(guān)于平面向量，有下列四個(gè)命題，其中說(shuō)法正確的是（ BD ）A. 若，則B. 若向量，則向量在向量上的投影向量為C. 非零向量和滿足，則與的夾角為D. 點(diǎn)，與向量同方向的單位向量為10.在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)度可能是（ C D）A.B.C. D. 11.已知是復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（ ABD ）A. B. C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在實(shí)軸上 D. 的最大值為12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（ ABD ）A.B.C.D.為偶函數(shù)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________.14.在中，若，則_____或_____.15.棱長(zhǎng)為的正四面體的外接球的表面積為_(kāi)_________.16.已知圓的半徑為1，為該圓的兩條切線，為兩切點(diǎn)，那么的最小值為_(kāi)_________.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（本小題10分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)取何值時(shí)，是實(shí)數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)的值.【解析】（Ⅰ）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則，……………3分.……………4分（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，把代入方程得：，整理得：，……………8分所以，解得.……………10分18.（本小題12分）如圖所示，平面四邊形由等腰與等邊拼接而成，其中，，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，當(dāng)取得最小值時(shí)，求的值．【解析】（Ⅰ）以分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系；故，……………3分故；……………6分（Ⅱ），則，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故，，……………9分故，可知當(dāng)時(shí)，取得最小值．……………12分19.（本小題12分）如圖，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求三棱錐的體積．【解析】（Ⅰ）連接，設(shè)，連接．由已知得，四邊形為正方形，則為的中點(diǎn).因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．……………4分又因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面? ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∥平面，所以與到平面的距離相等，所以．……………8分由題設(shè)及，得，且．所以，所以三棱錐的體積為． …………………12分20.（本小題12分）在梯形中，，，，是的中點(diǎn)，將沿折起，使位于處，且（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成的角的大?。窘馕觥浚á瘢?……………2分.，，.平面.……………6分（Ⅱ）延長(zhǎng)交于，連接.由(Ⅰ)可知,,又,.,，平面，又平面，平面. 為直線與平面所成的角. ……………9分在直角三角形中,,直線與平面所成的角為.……………12分21.（本小題12分）在銳角中，角所對(duì)的邊分別是．已知，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若是中上的一點(diǎn)，且滿足，求與的面積之比的取值范圍．【解析】（Ⅰ），，，又，，，又，，……………6分（Ⅱ），，，即平分，……………8分所以，……………10分又，，，，，．……………12分22.（本小題12分）設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，如果對(duì)任意的，有，則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù)；如果有，則稱為區(qū)間上的上凸函數(shù)．（Ⅰ）已知函數(shù)，求證：（ⅰ）；（ⅱ）函數(shù)為下凸函數(shù)；（Ⅱ）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（Ⅰ）（?。?分（ⅱ）令，則所以，即函數(shù)為下凸函數(shù)……………8分（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)為上凸函數(shù)則對(duì)任意的，有恒成立因?yàn)閯t因?yàn)樗浴?2分。
