階線性方程 高等數(shù)學(xué)微積分

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級(jí),,第三級(jí),,第四級(jí),,第五級(jí),,*,*,*,1. 一階線性微分方程,的標(biāo)準(zhǔn)形式:,上方程稱為,齊次的,.,上方程稱為,非齊次的,.,6.2.4 一階線性微分方程,例如,線性的;,非線性的.,齊次方程的通解為,(1) 線性齊次方程,2. 一階線性微分方程的,解法,(使用分離變量法),(2) 線性非齊次方程,討論,兩邊積分,非齊次方程通解形式,與齊次方程通解相比:,常數(shù)變易法,把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.,實(shí)質(zhì):,,未知函數(shù)的變量代換.,作變換,積分得,一階線性非齊次微分方程的通解為:,對(duì)應(yīng)齊次方程通解,非齊次方程特解,解,例1,例,2,求下列微分方程滿足所給初始條件的特解,:,解,于是,將方程標(biāo)準(zhǔn)化為,例,2,求下列微分方程滿足所給初始條件的特解,:,解,于是,將方程標(biāo)準(zhǔn)化為,故所求特解為,由初始條件,得,例3,如圖所示，平行于 軸的動(dòng)直線被曲 線 與 截下的線段PQ,之長數(shù)值上等于陰影部分的面積, 求曲線 .,兩邊求導(dǎo)得,解,解此微分方程,所求曲線為,例,4,已知函數(shù),.,解,原方程實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)的線性方程,,,其中,直接代入通解公式,,,得通解,求解方程,是,的,例,5,解,方程變?yōu)?這個(gè)方程不是一階線性微分方程,,,不便求解,.,如果,方程改寫為,則為一階線性微分方程,,,于是對(duì)應(yīng)齊次方程為,求方程,的通解,.,當(dāng)將,看作,的函數(shù)時(shí),,,將,看作,的函數(shù),,,例,5,解,求方程,的通解,.,利用常數(shù)變易法,,,設(shè)題設(shè)方程,其中,為任意常數(shù),,,分離變量,,,即,并積分得,代入原方程,,,積分得,的通解為,得,其中,為任意常數(shù),.,故原方程的通解為,例6,,求方程,的通解 .,解:,注意,x,,,y,同號(hào),,由一階線性方程,通解公式,,,得,故方程可,變形為,所求通解為,,這是以,為因變量,,,y,為,,自變量的一階線性方程,伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,方程為,線性微分方程,.,,方程為,非線性微分方程,.,6.2.5 伯努利方程,解法:,需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.,求出通解后，將 代入即得,代入上式,例,7,解,得,解得,求,的通解,.,兩端除以,令,得,故所求通解為,例,8,解,上式即變?yōu)橐浑A線性方程,求方程,的通解,.,令,則,于是得到伯努利方程,令,其通解為,例,8,解,上式即變?yōu)橐浑A線性方程,求方程,的通解,.,令,其通解為,回代原變量,,,即得到題設(shè)方程的通解,例10,,用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:,解,所求通解為,解,代入原式,分離變量法得,所求通解為,另解,小結(jié):,1. 一階線性方程,方法1 先解齊次方程 , 再用常數(shù)變易法.,方法2 用通解公式,化為線性方程求解.,2. 伯努利方程,1.判別下列方程類型:,提示:,,可分離 變量方程,齊次方程,線性方程,線性方程,伯努利方程,思考題,解,思考題,2.求微分方程 的通解.,3.,,求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),使其滿足下列方程:,提示:,令,則有,利用公式可求出,思考題,4.,設(shè)有微分方程,其中,試求此方程滿足初始條件,的連續(xù)解.,解:,,1) 先解定解問題,利用通解公式, 得,利用,得,故有,思考題,2) 再解定解問題,此齊次線性方程的通解為,利用銜接條件得,因此有,3) 原問題的解為,( 雅各布第一 · 伯努利 ),,書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,,,伯努利,(1654 – 1705),瑞士數(shù)學(xué)家,,,位數(shù)學(xué)家.,,標(biāo)和極坐標(biāo)下的曲率半徑公式,,1695年,版了他的巨著《猜度術(shù)》,,上的一件大事,,,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.,,年提出了著名的伯努利方程,,他家祖孫三代出過十多,,1694年他首次給出了直角坐,,1713年出,,這是組合數(shù)學(xué)與概率論史,此外, 他對(duì),雙紐線, 懸鏈線和對(duì)數(shù)螺線都有深入的研究 .,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,。