山東省泰安肥城市2024屆屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期三模試題[含答案]

試卷類型:A2024年高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù) 學(xué) 試 題 （三）本試卷共19題，滿分150分，共6頁．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上2. 回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3. 考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng) 是符合題目要求的1.已知集合，集合，則集合子集的個(gè)數(shù)為A. B. C. D. 2.小王夫婦開設(shè)了一家早餐店，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)每天茶葉蛋的銷量（單位：個(gè)），估計(jì)天內(nèi)每天茶葉蛋的銷量約在到個(gè)的天數(shù)大約為（附：若隨機(jī)變量，則，，）A． B． C． D．3. 已知單位向量滿足，則在方向上的投影向量為A. B. C. D. 4. 青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測量，通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)滿足．已知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為和，記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為，則的取值范圍是A. B.C. D. 5.已知為定義在上的偶函數(shù)，則函數(shù)的解析式可以為A. B. C. D. 6. 將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則A． B．在上單調(diào)遞增C．在上的最小值為 D．直線是圖象的一條對稱軸7. 設(shè)，，，則A. B. C. D. 8．已知圓與拋物線相交于兩點(diǎn)，分別以為切點(diǎn)作的切線. 若都經(jīng)過的焦點(diǎn)，則A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9. 下列結(jié)論正確的是A. 回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)點(diǎn)B. 已知命題，，則命題的否定為，C. 若為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則D.若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為和10. 已知函數(shù)，則A. 是上的增函數(shù) B. 函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)C．函數(shù)的最小值為－1D. 存在唯一個(gè)極值點(diǎn)11. 在正方體中，點(diǎn)滿足，，，則A. 當(dāng)時(shí)，B. 當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，正方體的棱長為時(shí)，的最小值為D．當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)P，使得P到的距離等于P到的距離三、填空題：本題共 3小題，每小題5分，共15 分12. 某高中為了了解學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模社團(tuán)的情況，采用了分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人．已知該校高三年級共有720名學(xué)生，則該校共有學(xué)生 ▲ 人．13. 已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，且，，則的離心率為 ▲ .14. 已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是 ▲ .四、解答題：本題共5小題，共 77 分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（13分）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，求.16.（15分）如圖，在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn)．將沿折起到的位置，如圖．（1）證明：平面平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．OAEDBCA1(A)BOCDE圖1 圖217.（15分）平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)與到直線的距離之比為3.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程;（2）為的左右頂點(diǎn)，過的直線與交于（異于）兩點(diǎn)，與交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上.18.（17分）為了解學(xué)生中午的用餐方式（在食堂就餐或點(diǎn)外賣）與最近食堂間的距離的關(guān)系，某大學(xué)于某日中午隨機(jī)調(diào)查了2000名學(xué)生，獲得了下面的頻率分布表（不完整），并且由該頻率分布表，可估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離為（同一組數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表）.學(xué)生與最近食堂間的距離合計(jì)在食堂就餐0.150.100.000.50點(diǎn)外賣0.200.000.50合計(jì)0.200.150.001.00（1）求出的值并補(bǔ)全頻率分布表； （2）根據(jù)頻率分布表補(bǔ)全樣本容量為的列聯(lián)表（如下表），并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān)（當(dāng)學(xué)生與最近食堂間的距離不超過時(shí)，認(rèn)為較近，否則認(rèn)為較遠(yuǎn)）；根據(jù)頻率分布表列出如下的列聯(lián)表：學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食堂較遠(yuǎn)合計(jì)在食堂就餐點(diǎn)外賣合計(jì)（3）一般情況下，學(xué)生更愿意去飯菜更美味的食堂就餐. 該校距李明較近的有甲、乙兩家食堂，且他每天中午都選擇食堂甲或乙就餐.記他選擇去甲食堂就餐為事件A，他認(rèn)為甲食堂的飯菜比乙食堂的美味為事件D，且D、A均為隨機(jī)事件，證明：.附：，其中.0.100.0100.0012.7066.63510.82819.（17分）定義：設(shè)和均為定義在上的函數(shù)，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則稱和為“相伴函數(shù)”.（1）給出兩組函數(shù)，①和；②和，分別判斷這兩組函數(shù)是否為“相伴函數(shù)”；（2）若是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，，問是否存在使得和為“相伴函數(shù)”？若存在寫出的一個(gè)值，若不存在說明理由；（3），寫出“和為相伴函數(shù)”的充要條件，證明你的結(jié)論. 2024年高考適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)（三）參考答案及評分意見一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的題號12345678答案DBADCDBC解析：1. 聯(lián)立可得方程組的解為或，所以，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：D.2. 由題意可知：，，則，， ，則天內(nèi)每天茶葉蛋的銷量約在到個(gè)的天數(shù)大約為．故選：B．3. 因?yàn)槭菃挝幌蛄?，所以，由得，則，得，設(shè)與的夾角為，則在方向上的投影向量為.故選：A.4. 依題意：，兩式相減可得，故，而. 故選：D．5. 因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即，所以是偶函數(shù). 對于選項(xiàng)A，因?yàn)椋?所以定義域?yàn)?，所以不滿足題意；對于選項(xiàng)B，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，，不符合題意；對于選項(xiàng)C，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，所以為偶函數(shù)，符合題意；對于選項(xiàng)D，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對稱，為奇函數(shù)，不符合題意；故選：C.6. 對于選項(xiàng)A，由題意，將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，可得，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，令，可得，所以在上單調(diào)遞增，所以 B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，令，可得，所以在上單調(diào)遞減， 又在上單調(diào)遞增，因?yàn)樵谏系淖钚≈禐?，C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，函數(shù)的對稱軸方程為，化簡可得，取，可得，所以是圖象的一條對稱軸，故D正確.故選D.7. 由單調(diào)遞減可知：.由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.由單調(diào)遞減可知：，所以. 故選：B.8. 由題得設(shè)，聯(lián)立圓和拋物線得：，代入點(diǎn)得,又為圓的切線，故，由拋物線得定義可知：，故化簡得：，將點(diǎn)代入圓得： 所以，而，故 ，所以，故選C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分題號91011答案BDBDABD解析：9. 對于選項(xiàng)A，回歸直線可以不經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個(gè)點(diǎn)，則A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，命題，的否定為“”.所以B正確.對于選項(xiàng)C，為取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量，則，故C錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)D，由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則，所以，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，方差為，所以，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、的平均數(shù)為，方差為. 故D正確；故選：BD.10. 對于選項(xiàng)A，，，當(dāng)時(shí)，則， ，即，不是上的增函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，從而函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，不是函數(shù)的最小值，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，因?yàn)椋缘姆枦Q定于，顯然是上的增函數(shù)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，使，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).所以有唯一極小值點(diǎn). 故D正確. 故選 ：BD.11. 對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，的軌跡為線段，連接，則.又平面，，∴平面，，同理可得，故平面，平面，所以，故A正確；對于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為線段（為的中點(diǎn)），直線平面，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為線段，將三角形旋轉(zhuǎn)至平面內(nèi)，可知，由余弦定理可得，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)軌跡為以為圓心，為半徑的四分之一圓弧，由點(diǎn)到的距離等于到的距離，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于到的距離，則點(diǎn)軌跡為以為焦點(diǎn)，以為準(zhǔn)線的拋物線上，故存在唯一的點(diǎn)，使得點(diǎn)到的距離等于到的距離，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共 3小題，每小題5分，共15 分。

12. 13. 14. 解析：12. 利用分層隨機(jī)抽樣的方法從三個(gè)年級中抽取了300人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一、高二年級各抽取了90人，可得高三年級共有120人，又由高三年級共有720名學(xué)生，則每個(gè)學(xué)生被抽到的概率為，設(shè)該校共有名學(xué)生，可得，解得人，即該校共有1800名學(xué)生.故答案為：1800.13. 連接，設(shè)，則，，，??在中，即，，，，，在中，，即，，，又，.14. ∵∴兩邊加上得設(shè)，則在上單調(diào)遞增∴，即令，則∵的定義域是∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取得極大值即為最大值，且，∴，∴即為所求.四、解答題：本題共5小題，共 77 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（13分）解：（1）∵，即 ①，當(dāng)時(shí)， ②，………………………………2分①②得，，即， ……………………………………………4分即，所以，且，…………………………………………………………6分∴是以1為公差的等差數(shù)列， ，. 即的通項(xiàng)公式為………………………………………………………………7分（2）由（1）知：，∴當(dāng)時(shí)， ……………………………………………9分又，∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列， ………………11分∴. ……………………13分16.（15分）解：（1）在圖1中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，，所以．…………………………………………………………2分即在圖2中，，．從而平面．……………………………4分又∥，所以平面．因?yàn)槠矫妫?zAEDBCA1 (A)BOCDE圖1 Oxy所以平面平面 …………………………………………………6分（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，．所以為二面角的平面角，所以． ……………………8分如圖，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， ………………………………9分設(shè)，所以，因?yàn)椋?，，，．得，? ……11分設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取. …………………………………12分同理：，得，取. ……………………………13分從而， …………………………………………14分即平面與平面夾角的余弦值為． ………………………………………15分17.（15分）解：（1）設(shè)，由題意可得， …………………………3分整理得:，所以軌跡的方程為. …………………………………………………5分（2）由（1）知，由題可設(shè)直線，.聯(lián)立 得：，易知. …………7分所以 ① 又，， ……………………………………9分兩式相除得: ② …………………11分由①式可得， …………………………………………………13分帶入②式，得，所以點(diǎn)在定直線上. …………………………………………………15分18.（17分）解：（1）組的頻率為，估計(jì)學(xué)生與最近食堂間的平均距離，解得， ……………………………………………………3分故可補(bǔ)全頻率分布表如下：學(xué)生與最近食堂間的距離合計(jì)在食堂就餐0.150.200.100.050.000.50點(diǎn)外賣0.050.200.150.100.000.50合計(jì)0.200.400.250.150.001.00……………………………………………………7分（2）結(jié)合樣本容量為的頻率分布表可列出列聯(lián)表如下：學(xué)生距最近食堂較近學(xué)生距最近食較堂遠(yuǎn)合計(jì)在食堂就餐7003001000點(diǎn)外賣5005001000合計(jì)12008002000……………………………………………………9分零假設(shè)：學(xué)生中午的用餐情況與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近無關(guān).注意到. …………11分根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即可以認(rèn)為學(xué)生中午的用餐方式與學(xué)生距最近食堂的遠(yuǎn)近有關(guān). ………………………12分（3）由題意得，，結(jié)合，.結(jié)合條件概率公式知，即. ……………………………………………………14分，即成立. ……………………………………………………17分19.（17分）解：（1）第①組是，第②組不是.①和，，所以，所以這兩組函數(shù)是“相伴函數(shù)”. ……………………………………………………2分②和，，不一定為非正數(shù)，所以這兩組函數(shù)不是 “相伴函數(shù)”. ……………………………………………………4分（2）存在，使得和為“相伴函數(shù)”. 證明如下：，所以， ……………………………………………………5分.若和為“相伴函數(shù)”則成立，即.若 ……………………………………………………7分由①知， 則可取，也滿足②式.若∴若，則③式無解；若，則④式無解； ……………………………………9分綜上存在，使得和為“相伴函數(shù)”. …………………………10分（3）“和為相伴函數(shù)”的充要條件是. ………11分因?yàn)槿艉蜑橄喟楹瘮?shù)即對恒成立，即，，即，由于取遍內(nèi)的所有實(shí)數(shù)，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，所以； ………………………………………………………………14分故必要性得證.下面證明充分性：已知，則，，此時(shí)，所以，即成立，和為相伴函數(shù). …16分所以“和為相伴函數(shù)”的充要條件是. ………17分。