四川省2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末模擬試題二[含答案]

2025屆高二數(shù)學(xué)下學(xué)期回歸教材期末模擬試題（二）一、 選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)集合，A. 8 B. 16 C. 32 D. 4【答案】A【解析】因?yàn)?，由，，，法一：其子集有?個(gè)故選：A法二：（速解）集合有3個(gè)元素，故其子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A.2.設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則（）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】,故選：B3.如圖是某個(gè)閉合電路的一部分，每個(gè)元件正常導(dǎo)電的概率為，則從到這部分電源能通電的概率為（????）A．B．C． D．【答案】A【解析】從A到B電路不能正常工作的概率為，所以從A到B電路能正常工作的概率為.故選：A.4.已知的展開式第3項(xiàng)的系數(shù)是60，則展開式所有項(xiàng)系數(shù)和是( )A.-1 B.1 C.64 D.【解析】的展開式第3項(xiàng)為，則由已知可得，解得，令，得，所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故選B5.下列命題不正確的是（ ）A.正十二邊形的對角線的條數(shù)是54；B.身高各不相同的六位同學(xué)，三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站，共有120種站法；C.有5個(gè)元素的集合的子集共有32個(gè)；D. 6名同學(xué)被邀請參加晚會，其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去，要么都不去，共有32種去法.【答案】D【解析】對A：任意兩點(diǎn)連線的條數(shù)，再排除邊數(shù)，故正十二邊形的對角線的條數(shù)是.故A正確；對B：6個(gè)人全排列有種方法，A、C、D全排列有種方法，則A、C、D從左到右按高到矮的排列有種方法，故B正確；對C：這個(gè)集合的子集包括有含有0個(gè)元素、1個(gè)元素、2個(gè)元素、3個(gè)元素、4個(gè)元素和5個(gè)元素，所以這個(gè)集合的子集共有個(gè)，故C正確；對D：.當(dāng)甲和乙兩位同學(xué)都去，則至少要去2人，則有種去法；當(dāng)甲和乙兩位同學(xué)都不去，則有種去法；根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得：共有種去法。

故D不正確6.長時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約20%的人近視，而該校大約有10%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過1小時(shí)，這些人的近視率約為60%，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為( )A. B. C. D.【解析】令“玩手機(jī)時(shí)間超過1h的學(xué)生”，“玩手機(jī)時(shí)間不超過1h的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，故選B.7.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現(xiàn)于南宋杰出數(shù)學(xué)家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規(guī)律如圖所示：那么下列說法中正確的是（????）??A． 第行的第個(gè)位置的數(shù)是B．楊輝三角前10項(xiàng)的所有數(shù)之和為1024C．70在楊輝三角中共出現(xiàn)了4次D．210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次【答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)：第行的第個(gè)位置的數(shù)是，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)：，B不正確；由于，不妨設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，而遞增，從而無解；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由于是第9行中最中間的數(shù)，楊輝三角中以該數(shù)為頂點(diǎn)的下方三角形區(qū)域中的數(shù)都大于70，所以當(dāng)時(shí)，共出現(xiàn)3次，C不正確；類似于前，以為頂點(diǎn)的下方三角形區(qū)域中的數(shù)都大于,D正確.故選：BCD8.已知0為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】，的導(dǎo)函數(shù)為.若，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，不符合題意.若，當(dāng)時(shí)，，，易得在遞增，在上單調(diào)遞減，不符合題意.綜上，的取值范圍是.二、 選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。

在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.下列命題正確的是（ ）A.已知，那么6. B.在的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是-1;C:能被8整除． D.的展開式中的系數(shù)為30．對A：因?yàn)?，所以，即，即，解得或（舍去?故A正確;對B:令，則，即二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是.故B不正確;對C：能被8整除.所以能被8整除.故C正確;對D：設(shè)其展開式的通項(xiàng)公式為，令，得的的通項(xiàng)公式為，再，得，的展開式中，的系數(shù)為．即的展開式中，的系數(shù)為30．故D正確10.下列結(jié)論中正確的有（????）A．?dāng)?shù)據(jù)的方差是0.1，則有數(shù)據(jù)的方差為9.B．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則C．若相關(guān)指數(shù)的值越接近于0，表示回歸模型的擬合效果越好D．若隨機(jī)事件滿足，，，則【答案】BD【解析】對于A，（速解）由已知得，，則對于，可得，，A錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B，若，則，所以，B正確.對選項(xiàng)C，的值越接近1，表示回歸模型的擬合效果越好，故C錯(cuò)誤.對選項(xiàng)D，，所以，所以，所以，故D正確.選BD．11.設(shè)函數(shù),則( )A．是的極小值點(diǎn) B．當(dāng)時(shí),C．當(dāng)時(shí),D．當(dāng)時(shí),【答案】AC【解析】；[類比+特殊],,或,畫出示意圖如圖,可知A正確；當(dāng)時(shí),,,B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí),時(shí),,C正確；當(dāng)時(shí),,此時(shí) 兩者大小不確定,故D錯(cuò)誤.三、 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是________【答案】【解析】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，13.購買某種意外傷害保險(xiǎn)，每個(gè)投保人年度向保險(xiǎn)公司交納保險(xiǎn)費(fèi)20元，若被保險(xiǎn)人在購買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，可獲得賠償金50萬元.已知該保險(xiǎn)每一份保單需要賠付的概率為，某保險(xiǎn)公司一年能銷售10萬份保單，且每份保單相互獨(dú)立，則一年度內(nèi)該保險(xiǎn)公司此項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)需要賠付的概率約為；一年度內(nèi)盈利的期望為萬元.（參考數(shù)據(jù)：） 【答案】 0.63 150【解析】每份保單不需要賠付的概率是，則10萬分保單不需要賠付的概率；需賠付的概率是設(shè)10萬份保單中需賠付的件數(shù)，設(shè)為，則，則需賠付的保險(xiǎn)金為，則，則一年內(nèi)的盈利的期望是（元）=150（萬元）故答案為：；14.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有3個(gè)實(shí)數(shù)根，即與有3個(gè)交點(diǎn)，表示斜率的直線，如圖，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，解得：，，如圖，滿足條件的的取值范圍是故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分。

解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15.（13分）已知甲社區(qū)有120人計(jì)劃去四川旅游，他們每人將從峨眉山與青城山中選擇一個(gè)去旅游，將這120人分為東、西兩小組，兩組的人數(shù)相等，已知東小組中去峨眉山的人數(shù)是去青城山人數(shù)的兩倍，西小組中去峨眉山的人數(shù)比去青城山的人數(shù)少10.（1）完成下面的2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否由此推斷游客的選擇與所在的小組有關(guān)？去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組西小組合計(jì)（2）在東小組的游客中，以他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率，從乙社區(qū)任選3名游客，記這3名游客中去青城山旅游的人數(shù)為X，求及X的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）2×2列聯(lián)表如下.去峨眉山旅游去青城山旅游合計(jì)東小組402060西小組253560合計(jì)6555120零假設(shè)游客的選擇與所在的小組無關(guān)，，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為游客的選擇與所在的小組有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）在東小組的游客中，他們?nèi)デ喑巧铰糜蔚念l率為，所以乙社區(qū)游客去青城山旅游的概率為，所以，則，.16.（15分）已知函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且），在區(qū)間上最大值為，最小值為.（1）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，求切線方程.【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】（1），，，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，，，，，解得：，；，；在上為減函數(shù)，在上恒成立，，又當(dāng)時(shí)，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）得：，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率，切線方程為：，又切線過點(diǎn)，，解得：或；當(dāng)時(shí)，切線方程為：，即；當(dāng)時(shí)，切線方程為：，即.17.（15分）某市組織宣傳小分隊(duì)進(jìn)行法律法規(guī)宣傳，某宣傳小分隊(duì)記錄了前9天每天普及的人數(shù)，得到下表：時(shí)間（天）123456789每天普及的人數(shù)y8098129150203190258292310（1）從這9天的數(shù)據(jù)中任選4天的數(shù)據(jù)，以表示4天中每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）由于統(tǒng)計(jì)人員的疏忽，第5天的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)有誤，如果去掉第5天的數(shù)據(jù)，試用剩下的數(shù)據(jù)求出每天普及的人數(shù)y關(guān)于天數(shù)的線性回歸方程.（參考數(shù)據(jù)：，附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：）.【答案】（1）分布列見解析， （2）【解析】（1）每天普及人數(shù)不少于240人的天數(shù)為3天，則的所有可能取值為，，，，，故的分布列為0123.（2）設(shè)原來數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，去掉第5天的數(shù)據(jù)后樣本中心點(diǎn)為，，，故，，所以.18.（17分）一個(gè)袋子中有10個(gè)大小相同的球，其中紅球7個(gè)，黑球3個(gè).每次從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.(1)求第2次摸到紅球的概率；(2)設(shè)第次都摸到紅球的概率為；第1次摸到紅球的概率為；在第1次摸到紅球的條件下，第2次摸到紅球的概率為；在第1，2次都摸到紅球的條件下，第3次摸到紅球的概率為.求；(3)對于事件，當(dāng)時(shí)，寫出的等量關(guān)系式，并加以證明.【解析】（1）記事件“第次摸到紅球”為，則第2次摸到紅球的事件為，于是由全概率公式，得.（2）由已知得，，，.（3）由（2）可得，即，可猜想：,證明如下：由條件概率及，得，，所以.19.（17分）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，解決如下問題.（1）利用泰勒公式求的近似值；（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）設(shè)，證明：；（3）設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由泰勒公式知，①于是有；（2）由泰勒公式知，①于是，②由①②得所以即.（3），則，設(shè)，由基本不等式知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因此，是的極小值點(diǎn).下面證明：當(dāng)時(shí)，不是的極小值點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí)，.因此，在上單調(diào)遞減.又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，是的極大值點(diǎn)，不是的極小值點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.。