浙江省紹興市柯橋區(qū)2024屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末試題[含答案]

2023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量調(diào)測高三數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本科考試分為試題卷和答題卷，考生須在答題卷上答題.2.答題前，請在答題卷的規(guī)定處用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫學(xué)校、班級、姓名和準考證號、3.試卷分為選擇題和非選擇題兩部分，共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合或，，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解指數(shù)不等式化簡集合B，再利用補集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得，解得，則，由或，得，所以.故選：C2. 若（，為虛數(shù)單位），則（）A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等列式求出，利用復(fù)數(shù)模的運算求得最終結(jié)果.【詳解】由，得，，則.故選：B3. 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由，，解得或，所以函數(shù)的定義域為，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.4. 已知平面向量，，若，則（）A. 或 B. 或C. 或3 D. 或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示得到，再進行弦化切即可得到.【詳解】，且，，即，，即，或.故選：A.5. 已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理列式求出的取值范圍，結(jié)合必要不充分條件的意義判斷即得.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D6. 直線交曲線于點A，B，則的最小值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直線所過定點，根據(jù)弦長公式即可得到最值.【詳解】即，則直線恒過定點,且圓的圓心為,將點代入圓方程得，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因為圓心到直線距離的最大值為直線所過定點到圓心的距離，即，故選：B.7. 已知x為正實數(shù)，y為非負實數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】變形式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】由x為正實數(shù)，y為非負實數(shù)，得，由，得，于是，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值.故選：B8. 若對任意實數(shù)，恒有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】移項整理得，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，分和討論即可.【詳解】，，設(shè)，則，設(shè)，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，且，當時，在單調(diào)遞增，，即，當時，則，不妨取，即，當時，，時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，即，而有在上恒成立，，即，綜上可得.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是移項整理，利用導(dǎo)數(shù)并分類討論求其最小值，對時需利用隱零點法求解其最值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 已知，關(guān)于x的一元二次不等式的解集可能是（）A. 或 B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】分，，三種情況結(jié)合與的大小關(guān)系討論，可得不等式的解集.【詳解】當時，；當時，或，故A正確；當時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故C正確；若，則不等式的解為：，故D正確.故選：ACD10. 已知直線m，n為異面直線，平面，平面，則下列線面關(guān)系可能成立的是（）A. B. 平面C. 平面平面 D. 平面平面【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直、面面垂直、面面平行相關(guān)性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對AD，當平面平面，且時，兩直線可以為異面直線，故AD正確；對C，若平面平面，則，則共面，這與直線m，n為異面直線矛盾，故C錯誤；對B，當平面時，則平面平面，此時與C錯誤一致，故B錯誤.故選：AD.11. 已知等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A. 數(shù)列為等比數(shù)列 B. C. 當且僅當時，取得最大值 D. 【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列通項公式及前項和，再逐項分析、計算即得.【詳解】等差數(shù)列中，，解得，，解得，于是等差數(shù)列的公差，，前項和，對于A，顯然，，因此數(shù)列是等比數(shù)列，A正確；對于B，，B正確；對于C，顯然等差數(shù)列單調(diào)遞減，前4項均為正數(shù)，第5項為0，從第6項起都為負數(shù)，因此當或時，取得最大值，C錯誤；對于D，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，因此，D錯誤.故選：AB12. 雙曲線：上一動點，，為雙曲線的左、右焦點，點為的內(nèi)切圓圓心，連接交軸于點，則下列結(jié)論正確的是（）A. 當時，點在的內(nèi)切圓上B. C. D. 當時，【答案】AB【解析】【分析】對A，根據(jù)雙曲線定義和焦點三角形內(nèi)切圓性質(zhì)得到其中一個切點坐標方程，解出即可；對B，利用雙曲線焦點弦結(jié)論和角平分線性質(zhì)得到，化簡即可判斷；對C，根據(jù)A選項結(jié)論得到的橫坐標為，再利用三角形面積公式即可求出其縱坐標；對D，根據(jù)雙曲線對稱性得到，顯然其不等于0，即可判斷D.【詳解】對A，當點位于雙曲線右支時，設(shè)的內(nèi)切圓與分別切于點，，，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有，再根據(jù)雙曲線的定義，有，，得到，設(shè)，則有，解得，即，所以當時，點在的內(nèi)切圓上，故A正確；對B，以下證明雙曲線焦半徑公式，設(shè)點為雙曲線上一點，若點在雙曲線左側(cè)，此時左準線方程為，則，則，根據(jù)可得，若點在雙曲線右側(cè)，此時右準線方程為，則，則，根據(jù)可得，對于本題來說，當點在雙曲線右支上時，由于為的角平分線，因此，結(jié)合，得到，同理當點在雙曲線左支上時，由于為的角平分線，因此，解得，故B正確；對C，當點位于雙曲線右支上時，由于為的內(nèi)心，軸，根據(jù)A選項的結(jié)論可知的橫坐標為，設(shè)，根據(jù)三角形的面積公式，有，即得到，故C錯誤；對D，當時，點在雙曲線的左支上，同A選項方法可得，同C選項方法（或根據(jù)雙曲線對稱性可得）可得，顯然，，則，故D錯誤.故選：AB.關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是充分利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)和雙曲線定義從而判斷A選項，利用焦半徑公式判斷B選項，本題還需要對點的位置進行合理分類討論.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，則展開式中的含的項的系數(shù)為___________.【答案】270【解析】【分析】根據(jù)展開式的二項式系數(shù)之和為，求得，然后利用通項公式求解.【詳解】由展開式的二項式系數(shù)之和為，解得，所以展開式的通項公式為，令，解得，所以含項的系數(shù)為.故答案為：270.14. 已知函數(shù)在上存在極值點，則正整數(shù)的值是___________【答案】5【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可得導(dǎo)函數(shù)為0時或，則得到的范圍.【詳解】，時，或，因為函數(shù)定義域為，則在左端點處無法取到極值，，故對于正整數(shù)取5，經(jīng)檢驗滿足題意，故答案為：5.15. 盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院，是由美籍華人建筑師貝聿銘設(shè)計的，已成為巴黎的城市地標，盧浮宮金字塔為正四棱錐造型，該正四棱錐的底面邊長為，高為，若該四棱錐的五個頂點都在同一個球面上，則該外接球的表面積是___________.【答案】【解析】【分析】由幾何關(guān)系和勾股定理確定關(guān)于的方程，解出半徑，再計算面積即可.【詳解】如圖，因為，所以球心在的延長線上，因為正四棱錐的底面邊長為，高為，所以，設(shè)，，則，解得，所以半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：16. 已知為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，過點的直線交C于A、B兩點，直線、分別交C于M、N，則的最小值為___________【答案】9【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)及直線：，再與拋物線方程聯(lián)立并結(jié)合韋達定理從而可求出，再由過焦點的弦的性質(zhì)從而可求出，，再由拋物線定義及基本不等式從而可求解.【詳解】設(shè)，直線：，則，得，所以，則，由過焦點，設(shè)直線：，則，得，所以，則，同理可得，所以，，則，當且僅當時取等號.故答案為：.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為,；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意Δ的判斷；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知銳角的內(nèi)角A，B，C，所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A；（2）若，求的周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式和正弦定理即可；（2）根據(jù)正弦定理得，從而化邊為角，結(jié)合三角恒等變換和三角函數(shù)值域即可得到其范圍.【小問1詳解】由已知得，，則根據(jù)正弦定理得，，為銳角三角形，．【小問2詳解】由正弦定理得，即，則，，因為，解得，得，所以，得．18. 已知數(shù)列的前n項和為.若為等差數(shù)列，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求.【答案】18. ，19. 【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的通項公式，可求得，再由與的關(guān)系求出；（2）由的通項公式，知，分和討論，并利用等差數(shù)列前n項和公式求解.【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，，，，，，則，，，又，，.【小問2詳解】由（1）得，，當時，，當時，，.19. 臨近新年，某水果店購入A，B，C三種水果，數(shù)量分別是36箱，27箱，18箱.現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取9箱，進行質(zhì)量檢查.（1）應(yīng)從A，B，C三種水果各抽多少箱?（2）若抽出的9箱水果中，有5箱質(zhì)量上乘，4箱質(zhì)量一般，現(xiàn)從這9箱水果中隨機抽出4箱送有關(guān)部門檢測.①用X表示抽取的4箱中質(zhì)量一般的箱數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；②設(shè)A為事件“抽取的4箱水果中，既有質(zhì)量上乘的，也有質(zhì)量一般的水果”，求事件A發(fā)生的概率.【答案】（1）答案見解析（2）①分布列見詳解，；②【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣的性質(zhì)分析求解；（2）①根據(jù)題意結(jié)合超幾何分別求分布列和期望；②根據(jù)題意利用對立事件以及①中結(jié)果運算求解.【小問1詳解】由題意知：，所以應(yīng)從A，B，C三種水果各抽4，3，2箱.【小問2詳解】①由題意可知：X的可能取值為0，1，2，3，4，則有：，，，，，所以隨機變量X的分布列為X01234P所以隨機變量X的期望為；②由題意可知：為事件“抽取的4箱水果中，都是質(zhì)量上乘的，或都是質(zhì)量一般的水果”，所以.20. 如圖，在三棱錐中，底面是邊長為2的正三角形，.（1）求證：；（2）若平面平面，在線段（包含端點）上是否存在一點E，使得平面平面，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定得平面，再通過線面垂直的性質(zhì)即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出相關(guān)法向量，利用面面垂直的空間向量法即可得到方程，解出即可.【小問1詳解】取的中點，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，由，所以，又平面，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】由（1）得，因為平面平面且交線為，且平面，所以平面，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則，則設(shè)平面的法向量為則，令，所以，若平面平面，則，求得，此時，所以．即此時.21. 已知橢圓：與圓交于M，N兩點，直線過該圓圓心，且斜率為，點A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過橢圓右焦點的直線交橢圓于D、E兩點，記直線，的斜率分別為，.（1）求橢圓的離心率；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點差法弦中點坐標即可得到，即可得到離心率；（2）設(shè)直線的方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立得到韋達定理式，過作軸的垂線交分別于點，再計算證明出，最后得到斜率之比.【小問1詳解】由已知得，中點為，設(shè)，則，，，作差得，即，由得，，得.【小問2詳解】由（1）及題設(shè)得橢圓的方程為：，則，則其右焦點，，，設(shè)，直線的方程為，，，過作軸的垂線交分別于點，，則直線，令，則，得同理直線，得得，所以由（※）知，，得．.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，設(shè)直線的方程為，將其與橢圓聯(lián)立得到韋達定理式，再分別求出直線方程，從而得到坐標，證明出，最后計算斜率之比即可.22. 已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若方程有兩個解，求證：.【答案】（1）遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可.（2）由（1）求出程的兩個解與1的大小關(guān)系，再變形要證不等式，結(jié)合的單調(diào)性分析，構(gòu)造函數(shù)借助導(dǎo)數(shù)推理即得.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)在，上的取值集合均為，當時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，其中一個解小于1，一個解大于1，不妨設(shè)，要證，即證，而，只證，又，即證，而，即證：，亦即，設(shè)，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，而，于是，因此，函數(shù)在上單調(diào)遞增，有，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是，即，從而，所以.【點睛】思路點睛：涉及雙變量的不等式證明問題，將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理.。