山西省呂梁市2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月質(zhì)量檢測試題[含答案]

2023～2024學(xué)年高二5月質(zhì)量檢測卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷，草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，第二冊，第三冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知隨機變量，則（ ）A．B． C．D．2．拋物線的焦點坐標(biāo)為（ ）A．B． C．D．3．統(tǒng)計x與y兩個變量的五組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，若y與x之間的經(jīng)驗回歸直線方程為，估計當(dāng)時，y的值為（ ）x12345y85100100105110A．125 B．130 C．133 D．1664．在某次物理測評中，學(xué)生的成績X服從正態(tài)分布，若參加物理測評的學(xué)生有500人，則測評成績在60分至90分之間的學(xué)生約有（ ）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A．341人 B．409人 C．460人 D．477人5．的展開式中項的系數(shù)為（ ）A．112 B．136 C．184 D．2566．已知P是圓上一動點，則點P到直線的距離的取值范圍為（ ）A． B． C． D．7．如果方程能確定y是x的函數(shù)，那么稱這種方式表示的函數(shù)為隱函數(shù)．隱函數(shù)的求導(dǎo)方法如下：在方程中，把y看成x的函數(shù)，則方程可看成關(guān)于x的恒等式，在等式兩邊同時對x求導(dǎo)，然后解出即可．例如，求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將方程的兩邊同時對x求導(dǎo)，則有（y是x的函數(shù)，需要用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)），得．利用隱函數(shù)求導(dǎo)方法可求得曲線在點處的切線方程為（ ）A． B． C． D．8．設(shè)是雙曲線的左、右焦點，點A是C的右支上一點，若的內(nèi)切圓M的半徑為a（M為圓心），且，使得（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的離心率為（ ）A． B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知正項等差數(shù)列的前n項和為，，公差為d，若，則（ ）A．或B． C． D．10．甲、乙、丙、丁4人每人隨機選取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三種編程語言之一進(jìn)行學(xué)習(xí)，每種編程語言至少有1人學(xué)習(xí)，A表示事件“甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；B表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；C表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualC＋＋編程語言”，則（ ）A．事件A與B相互獨立 B．事件A與C不是互斥事件C．D．11．如圖，正方體的棱長為3，E，F(xiàn)分別為棱上的點，且，平面AEF與棱交于點G，若點P為正方體內(nèi)部（含邊界）的點，滿足，則（ ）A．點P的軌跡為四邊形AEGF及其內(nèi)部B．當(dāng)時，點P的軌跡長度為C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量X的分布列，則_______．13．給如圖所示的圓環(huán)涂色，將圓環(huán)平均分成A，B，C，D四個區(qū)域，現(xiàn)有紅，黃、藍(lán)、綠四種顏色可供選擇，要求每個區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域的顏色不同，則不同的涂色方法有____種．14．若關(guān)于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的最大值為________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）在數(shù)列中，．（1）求；（2）求數(shù)列的前n項和．16．（本小題滿分15分）某超市為調(diào)查顧客單次消費金額與性別是否有關(guān)，隨機抽取70位當(dāng)日來店消費的顧客，其中女性顧客有40人，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，單次消費超過100元的占抽取總?cè)藬?shù)的，男性顧客單次消費不超過100元的占抽取總?cè)藬?shù)的．（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為顧客單次消費是否超過100元與性別有關(guān)聯(lián)?（2）在“單次消費超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取7人，再從這7人中任選3人參與問卷調(diào)查，記3人中女性人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考公式： （其中）．參考數(shù)據(jù)：0.0500.0250.013.8415.0246.63517．（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中平面底面ABCD，，．（1）求值：平面PBD；（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若對恒成立，求a的取值范圍．19．（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為c，且過點．（1）求的方程；（2）若AB分別為的上、下頂點．O為坐標(biāo)原點，直線l過的右焦點F與交于C，D兩點，與y軸交于P點；①若E為CD的中點求點E的軌跡方程；②若AD與直線BC交于點Q，求證為定值．2023～2024學(xué)年高二5月質(zhì)量檢測卷·數(shù)學(xué)參考答案，提示及評分細(xì)則1．C 因為．所以．故選C．2．D由題意知該拋物線的焦點在y軸上，且，所以，故其焦點坐標(biāo)為．故選D．3．C，因為回歸直線必過點，即點，所以，所以，所以，故當(dāng)時，．故選C．4．B由題意知，所以，故符合條件的學(xué)生人數(shù)約為．故選B．5．B的展開式的通項為，要得到項，必有，所以，所以，或．當(dāng)時，，而展開式中的項為，故中項的系數(shù)為；當(dāng)時，，而中的常數(shù)項為1，故中項的系數(shù)為，所以所求項的系數(shù)為．故選B．6．D由，得，由，得，故l過定點，因為點P在圓O上，，當(dāng)時，點P到l的距離最大，最大距離為，又因為此時，故l的斜率為1，此時無解，故這樣的直線l不存在，所以距離，當(dāng)直線l與圓O相交時，點P到l的距離最小，最小距離為0，故點P到l的距離的取值范圍為．故選D．7．D由，得，則，將點的坐標(biāo)代入，得，即，所以所求切線的方程為，即．故選D．8．A設(shè)，由對稱性不妨設(shè)點A在第一象限，此時M也在第一象限，因為，所以，所以，又，解得，所以，所以，解得，所以，代入雙曲線方程，得，解得，，所以．故選A．9．BCD由等差數(shù)列的性質(zhì)以及，得，即，解得或，若，則，符合題意，若，，不符合題意，故A錯誤，B正確；易求，所以，故C正確；則，所以，故D正確．故選BCD．10．BCD 4人選擇3種編程語言之一，每種編程語言至少有1人學(xué)習(xí)，共有種安排方案，甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言、乙學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言、乙學(xué)習(xí)VisualC+＋編程語言，各有種方案，∴；甲、乙均學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言，有種方案，∴；甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言且乙學(xué)習(xí)VisualC＋＋編程語言，有種方案，∴，對于A，∵，∴事件A與B不相互獨立，故A錯誤；對于B，∵，∴事件A與C不是互斥事件，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確．故選BCD．11．ABD對于A，取上一點H，使得，連接EH，F(xiàn)H，HB，易證四邊形AFHB和四邊形BHGE是平行四邊形，所以，所以四邊形AEGF為平行四邊形，因為，由空間向量基本定理可知，所以P在四邊形AEGF內(nèi)（或邊界上），故A正確；對于B．當(dāng)時，，所以，即，P在線段EG上，點P的軌跡長度為線段EG的長，所以，故B正確；對于C，當(dāng)時，易得點P為線段AF的中點，以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則，得．則．則，所以不成立，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，．分別取AF，EG的中點M，N．連接MN，P在線段MN上，．所以由，可得，平面ABCD的一個法向量為．設(shè)AP與平面ABCD所成的角為，所以，設(shè)，因為，則，則代入上式并化簡可得，當(dāng)時，直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為，D正確．故選ABD．12．由分布列的性質(zhì)知，所以．13．84由題意可知：四個區(qū)域最少涂兩種顏色，最多涂四種顏色，所以分以下三類：當(dāng)涂兩種顏色時；A和C相同，B和D相同，共有種涂色方法；當(dāng)涂三種顏色時：分A和C相同和A，C不同兩種情況，此時共有種涂色方法；當(dāng)涂四種顏色時：四個區(qū)域各涂一種，此時共有種涂色方法．綜上，不同的涂色方法有種．14．不等式即，所以．設(shè)，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以．令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，故滿足條件；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，設(shè)，則，則在上單調(diào)遞減，又，所以，所以，所以a的最大值為．15．解：（1），兩邊同乘以2，得，2分兩式相減，得 5分所以． 6分（2）由（1）知，所以 8分10分13分16．解：（1）由題意得如下2×2列聯(lián)表：單次消費超過100元單次消費不超過100元合計女性152540男性201030合計353570零假設(shè)：顧客的單次消費是否超過100元與性別無關(guān)聯(lián)，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得故依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能認(rèn)為顧客單次消費是否超過100元與性別有關(guān)聯(lián)． 6分（2）在“單次消費超過100元”的顧客中，按照性別比例采用分層隨機抽樣的方法抽取的7人中，女性有人，7分所以X的可能取值為0，1，2，3，則． 9分， 11分故X的分布列為X0123P所以． 15分17．（1）證明：過點D作于N， 1分因為，所以，所以，所以，所以，3分因為平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，所以平面PAD，5分又平面PAD，所以，又，BD，平面PBD，所以平面PBD． 7分（2）解：因為，所以，如圖，以D為坐標(biāo)原點，DN，DC所在直線分別為x軸，y軸，以過點D且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以． 9分設(shè)平面PBC的一個法向量為，則，令，則，所以， 12分設(shè)直線PA與平面PBC所成角為，則所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為． 15分18．解：（1）由題意知的定義域為，，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增； 3分當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 6分（2）由，得，即，令，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，， 8分令，則當(dāng)時，所以，也就是在上單調(diào)遞增，所以． 11分①當(dāng)，即時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，滿足題意； 12分②當(dāng)時，即時，因為當(dāng)．時，，所以存在，使得，所以存在，使得， 14分所以對，，所以在上單調(diào)遞減，所以，不合題意．綜上所述，滿足條件的a的取值范圍為． 17分19．（1）解：設(shè)的焦距為2c，則．則 1分所以，又， 2分所以，所以的方程為． 4分（2）①解：由（1）知，由題意知直線l的斜率存在，故設(shè)l的方程為，，由，消去y并整理，得，5分則，所以，7分所以，所以，8分又，所以，化簡，得 （去掉點），即點E的軌跡方程為 （去掉點）． 10分②證明：由（1）知，由（2）①知，當(dāng)時，C，D分別為的左、右頂點，由橢圓的對稱性知，不合題意，故，當(dāng)P異于A，B時，設(shè)，由A，Q，D三點共線，得，由B，Q，C三點共線，得，因為，12分兩式相除，得，解得．所以，為定值，15分當(dāng)P點與A點重合時，，當(dāng)P點與B點重合時，，所以，為定值． 17分。