重慶市2024屆高三數(shù)學下學期5月模擬預測七[含答案]

數(shù)學（考試時間：120分鐘；試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，進出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結來后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（ ）A． B． C． D．2．在復平面內，若復數(shù)對應的點的坐標為是虛數(shù)單位，則（ ）A． B．1 C． D．23．如圖，圓O內接邊長為1的正方形是?。òǘ它c）上一點，則的取值范圍是（ ）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，即可得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關于y軸對稱，則（ ）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且則不等式在上的解集為（ ）A． B． C． D．6．已知，則（ ）A． B． C．或2 D．27．已知橢圓的左焦點為，直線與C分別交于兩點（A在x軸上方），與y軸交于點為坐標原點．若，則C的離心率為（ ）A． B． C． D．8．如圖，已知四邊形是平行四邊形，分別是的中點，點P在平面內的射影為與平面所成角的正切值為2，則直線與所成角的余弦值為（ ）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．若實數(shù)滿足，則（ ）A． B． C． D．10．已知拋物線，過焦點F的直線與C交于兩點，O為坐標原點，則下列說法正確的有（ ）A．存在弦，使得中點的坐標為 B．當時，C．的中點到準線的距離小于D．當直線的斜率時，11．已知定義在R上的函數(shù)，當時，其圖象關于原點對稱，且，當時，恒有成立．函數(shù)，則（ ）A． B．C．的圖象關于直線對稱 D．方程有且僅有2個實數(shù)根三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．袋中裝有9個除顏色外完全相同的球，其中紅色球有3個，藍色球有6個，現(xiàn)甲、乙，丙三人從中不放回地依次各抽一球，則至少有一人抽到紅色球的概率為_______．13．在正項等比數(shù)列中，，則的最大值為_______．14．已知三棱錐的四個頂點均在球O上，平面為等腰直角三角形，A為直角頂點．若，且，則球O的表面積為_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）為豐富第二課堂，拓展素質教育，某校鼓勵學生參加書法興趣小組和繪畫興趣小組，開展相關實踐活動．該校共有3000名學生，為了解學生的參加情況，從全校學生中隨機抽取150名學生進行調查，發(fā)現(xiàn)有5人沒有參加興趣小組，且樣本中僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學生每周投入時間情況如下表：興趣小組活動類別投入時間（小時/周）大于10僅參加書法興趣小組人數(shù)z25301510僅參加繪畫興趣小組人數(shù)y1020255（1）用頻率估計概率，試估計全校學生中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)；（2）從僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學生中各抽1人，以X表示2人中每周投入時間大于5小時的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）根據公式計算僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學生在各投入時間段人數(shù)的樣本相關系數(shù)，并推斷它們的相關程度，其中，分別為僅參加書法興趣小組的學生在各投入時間段人數(shù)的均值和標準差，分別為僅參加繪畫興趣小組的學生在各投入時間段人數(shù)的均值和標準差．附：相關系數(shù)r相關程度低度線性相關顯著性相關高度線性相關16．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，側面為正三角形，且與底面垂直，E為的中點，M在上，滿足．（1）當時，證明：平面；（2）當二面角為時，求的值．17．（15分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線M上，且．（1）求雙曲線M的方程；（2）記的平分線所在的直線為直線l，證明：雙曲線M上存在相異兩點關于直線l對稱，并求出（E為的中點）的值．18．（17分）已知函數(shù)．（1）求證：；（2）若是的兩個相異零點，求證：．19．（17分）對于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．（1）試寫出“函數(shù)”，并求的值；（2）若“函數(shù)”，求n的最大值；（3）記函數(shù)，其導函數(shù)為，證明：“函數(shù)”．參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．題號12345678答案CABCBDDA1．【命題意圖】本題考查集合的基本運算．【解題思路】由題意知，且，，則，所以．故選C．2．【命題意圖】本題考查復數(shù)運算及模的概念．【解題思路】由題意知，則，所以．故選A．3．【命題意圖】本題考查平面向量及其應用．【解題思路】方法一：如圖1，以A為坐標原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標系，則）．設，則．因為，所以．由題意知，圓O的半徑．因為點P在?。òǘ它c）上，所以，所以的取值范圍是．故選B．圖1圖2方法二：如圖2，連接．易知，設，則．由已知可得，所以，所以．因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是，故選B．4．【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質，考查考生的運算求解能力．【解題思路】先將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象．因為函數(shù)的圖象關于y軸對稱，所以，即．又因為，所以，所以，所以．故選C．5．【命題意圖】本題考查函數(shù)的基本性質．【解題思路】因為函數(shù)是定義在R上周期為4的奇函數(shù)，且所以當時，；當時，，所以；當時，，所以．函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個單位長度得到，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示．由圖可知不等式在上的解集為．故選B．6．【命題意圖】本題考查三角恒等變換，考查考生的運算求解能力．【解題思路】由，得①．由，得，即，解得，所以②．由①②，得．所以．故選D．7．【命題意圖】本題考查橢圓的離心率、焦點三角形等知識，考查考生的推理論證能力及轉化與化歸思想．【解題思路】由題意可知，直線l過點F，所以，而，所以．由．解得．設C的右焦點為，在中，由余弦定理可得，解得．由橢圓的定義知，則C的離心率．故選D．8．【命題意圖】本題考查點、線、面的位置關系，考查考生的運算求解能力．【解題思路】如圖，取的中點E，連接．因為分別是的中點，所以．因為四邊形是平行四邊形，所以．因為N為的中點，所以，所以．故四邊形為平行四邊形，所以，所以直線與所成的角為．連接，因為點P在平面內的射影為N，所以平面，所以與平面所成的角為，所以．不妨令，則，所以，所以。

在中，由余弦定理得．故選A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．參考答案題號91011答案ABCBCCD9．【命題意圖】本題考查基本不等式、斜率的幾何意義及直線與圓的位置關系等知識．【解題思路】是以為圓心，1為半徑的圓．對于A，設，則直線與圓有公共點，所以，解得，所以，故A正確．對于B，由知，，故B正確．對于C，表示圓上一點與坐標原點連線的斜率．易知圈上的點與坐標原點連線的傾斜角的范圍是，故，即，故C正確．對于D，取，滿足，但，故D錯誤．故選ABC．10．【命題意圖】本題考查拋物線的方程及其性質，考查考生的運算求解能力．【解題思路】由題意知，焦點，準線方程為直線，令．對于A，由拋物線的性質可知①．若存在弦，使得中點的坐標為，則解得或都不滿足①式，故A錯誤．對于B，當時，解得由對稱性，不妨取，則，所以，故B正確．對于C，設的中點為E，過分別作準線的垂線，垂足分別為，如圖，則，而，所以，故C正確．對于D，由題意知直線的方程為．聯(lián)立拋物線方程，消去x得，則，所以．因為，所以，所以，故D錯誤．故選BC．11．【命題意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調性等知識，考查考生的運算求解能力及推理論證能力．【解題思路】當時，，即．令，則，所以在上單調遞減．因為當時，的圖象關于原點對稱，所以．所以，所以是偶函數(shù)，故在上單調遞增．對于A，由，可知，由以上分折可知，即，所以，故A錯誤．對于B，由以上分析可知，即，所以，故B錯誤．對于C，令，則，所以，即，因為，所以的圖象關于直線對稱，故C正確．對于D，當時，，而，故．當時，方程可化為．由，可得，畫出函數(shù)與的大致圖象，如圖所示．由圖象知，方程，即有且僅有2個實數(shù)根，故D正確．故選CD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12． 13．256 14．12．【命題意圖】本題考查古典概型．【解題思路】記“甲、乙、丙三人都抽到藍色球”為事件A，“甲、乙、丙三人至少有一人抽到紅色球”為事件B，則，所以，即至少有一人抽到紅色球的概率為．13．【命題意圖】本題考查等比數(shù)列及數(shù)列的最值問題，考查考生的運算求解能力．【解題思路】設等比數(shù)列的公比為，由題意，得，即，解得，故，，所以當時，取得最大值，為．14．【命題意圖】本題考查球內接三棱錐及球的表面積．【解題思路】因為平面平面，所以．所以在中，由，可求得．在等腰中，．易知三棱錐是球O內接長方體的一部分（如圖），是該長方體的體對角線，故球心O在的中點處．因為，所以球O的半徑為，故球O的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分．（本題滿分13分）15．【命題意圖】本題考查統(tǒng)計、概率的知識，考查考生的運算求解能力．（本題滿分13分）【解】（1）樣本中僅參加書法興趣小組的學生人數(shù)為，樣本中僅參加繪畫興趣小組的學生人數(shù)為，所以樣本中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)為，（2分）故全校學生中書法興趣小組和繪畫興趣小組都參加的人數(shù)約為．（3分）（2）從僅參加書法興趣小組的學生中抽取1人，每周投入時間大于5小時的概率為，從僅參加繪畫興趣小組的學生中抽取1人，每周投入時間大于5小時的概率為．（4分）X的所有可能取值為，則，，．所以X的分布列為X012P（7分）故．（8分）（3）由題意得．所以．即，，即，（10分），所以樣本的相關系數(shù)．由于．故僅參加書法興趣小組和僅參加繪畫興趣小組的學生在各投入時間段人數(shù)呈低度線性相關．（13分）16．【命題意圖】本題考查立體幾何中的線面位置關系、空間向量的應用、二面角等知識，考查考生的運算求解能力及轉化與化歸思想．（本題滿分15分）【解】（1）證明：當時，M為的中點．如圖1，連接，取的中點F，連接．在中，，所以為等邊三角形，所以，又，所以．在中，由正弦定理，得，所以．（3分）因為．所以．所以，所以，所以．（4分）因為分別為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以．（5分）又平面平面，所以平面．（6分）圖1（2）在中，，所以，即．因為為正三角形，E為的中點，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，所以，故以E點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖2，則，，所以．設點，由．得（，，（10分）所以．設平面的法向量為，則令，則，得，易知平面的一個法向量為，（12分）所以，即，解得（舍去）或．故當面角為時，．（15分）圖217．【命題意圖】本題考查雙曲線的標準方程、直線方程及直線與雙曲線的位置關系等綜合知識，考查考生的推理論證力、運算求解能力及轉化與化歸思想．（本題滿分15分）【解】（1）設，其中．由，得，移項，得，兩邊平方，整理得，解得（負值舍去），（3分）故，即，則．將代入上式中，整理得，解得（舍去）或．則．（5分）故雙曲線M的方程為（6分）（2）證明：易知直線的方程為，直線的方程為，即．設點在直線l上，由角平分線的性質可得P到的距離等于P到的距離，即，化簡得或．由題意，易知直線l的斜率小于0，所以不滿足題意，所以直線l的方程為．（8分）假設雙曲線M上存在相異兩點關于直線l對稱，則，所以．設，則．因為點E在直線l上，所以①．因為點在雙曲線上，所以，兩式相減得，化簡得，即，即②．聯(lián)立①②式，得．所以點E的坐標為．（11分）所以直線的方程為，即．與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得，因為，所以雙線M上存在相異兩點關于直線l對稱，且．（12分）故．（14分）又，所以（15分）18．【命題意圖】本題考查導數(shù)，考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力．（本題滿分17分）【證明】（1）令，則．（1分）令，得；令，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增．（3分）所以，所以．（4分）（2）易知函數(shù)的定義域是．由，可得．（5分）令．得；令，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以．（8分）①當，即時，至多有1個零點，故不滿足題意．（9分）②當，即時，．因為在上單調遞增，且．所以，所以在上有且只有1個零點，不妨記為，且．（11分）由（1）知，所以．因為在上單調遞減，，所以在上有且只有1個零點，記為，且．（13分）所以，所以．同理，若記則有，綜上所述，．（17分）19．【命題意圖】本題考查新定義數(shù)列，考查考生的運算求解能力和邏輯推理能力．（本題滿分17分）【解】由定義及．知，所以是公差為m的等差數(shù)列，所以．（1分）因為，所以，所以，即．當時，有，，……，所以，即．（4分）（1）當時，，所以“函數(shù)””．（6分）當時，．（7分）（2）當時，，故“函數(shù)”．（9分）由，得．令，則，所以在上單調遞增．因為．所以當時，，所以當時，，故n的最大值為5．（11分）（3）證明：由題意得（14分）由，得，所以，所以，所以．（17分）。