2022-2023學(xué)年廣西南寧市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】

第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共8小題，共40分在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1. 已知i為虛數(shù)單位，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)11?i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(????)A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 已知平面向量a=(1,2)，b=(?2,y)，若a//b，則a+b=(????)A. (?1,?2) B. (?1,6) C. (?1,3) D. (?1,1)3. 若函數(shù)f(x)=x2+1,x≤0log3(x+3),x>0，則f(f(?2))=(????)A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 已知集合A={x|y= x+3},B={x|x?3x?1<0}，則A∪B=(????)A. (?3,+∞) B. [?3,+∞) C. (?3,3) D. [?3,3)5. 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?1, 3)，則tan(α+π2)+sin(2α?3π)=(????)A. 32 B. ?34 C. ? 36 D. 5 366. 如圖所示，△ABC的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的等邊△A'B'C'，則在原圖中，BC邊上的高為(????)A. 2 6 B. 6 C. 2 3 D. 37. 若sinα=2sinβ,sin(α+β)?tan(α?β)=1，則tanαtanβ=(????)A. 2 B. 32 C. 1 D. 128. 在平行四邊形ABCD中，BE=12EC，DF=2FC，設(shè)AE=a，AF=b，則AC=(????)A. 67a+37b B. 37a+67b C. 34a+13b D. 13a+34b二、多選題（本大題共4小題，共20分。

在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9. 已知x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且(x+1)i?y=?1+2i，復(fù)數(shù)z=(1?i)x+y，則以下結(jié)論正確的是(????)A. z的虛部為?2i B. z的模為2C. z的共軛復(fù)數(shù)為2i D. z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限10. 在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，下列說(shuō)法中正確的是(????)A. “△ABC為銳角三角形”是“sinA>cosB”的充分不必要條件B. 若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形C. 命題“若A>B，則sinA>sinB”是真命題D. 若a=8，c=10，B=π3，則符合條件的△ABC有兩個(gè)11. 下列說(shuō)法正確的是(????)A. 若a?b=a?c，且a≠0，則b≠cB. 若z1，z2為復(fù)數(shù)，則|z1?z2|=|z1|?|z2|C. 設(shè)a，b是非零向量，若|a+b|=|a?b|，則a?b=0D. 設(shè)z1，z2為復(fù)數(shù)，若|z1+z2|=|z1?z2|，則z1z2=012. 向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它既是代數(shù)研究對(duì)象，也是幾何研究對(duì)象，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.若向量a，b滿足|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，則(????)A. a?b=?2 B. a與b的夾角為π3C. |a?b|>|a+b| D. a?b在b上的投影向量為?12b第II卷（非選擇題）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知命題p：?x0∈R,x02+2x0+a≤0，命題q：?x>0,x+1x>a，若p假q真，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____ ．14. 1?tan?75°1+tan?75°=??????????．15. 若圓x2+y2?2ax?2by=0(a>0,b>0)被直線x+y=1平分，則1a+2b的最小值為_(kāi)_____ ．16. 如圖，在△ABC中，已知BD=12DC，P為AD上一點(diǎn)，且滿足CP=mCA+49CB，若△ABC的面積為 3，∠ACB=π3，則|CP|的最小值為_(kāi)_____ ．四、解答題（本大題共6小題，共70分。

解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17. (本小題12分)設(shè)向量a、b滿足|a|=|b|=1，且|3a?2b|= 7．(1)求a與b夾角的大小；(2)求a+b與b夾角的大??；(3)求|3a+b||3a?b|的值．18. (本小題12分)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3．(Ⅰ)求c；(Ⅱ)若BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于P，AM=3，以P為圓心，r(00，則f(?2)=4+1=5，則f(f(?2))=log28=3．故選：C．4.【答案】B?【解析】A={x|x≥?3}，B={x|1π2，即A>π2?B，又A∈(0,π2)，π2?B∈(0,π2)，則sinA>sin(π2?B)=cosB；反之，若B為鈍角，滿足sinA>cosB，不能推出△ABC為銳角三角形，故A正確；由sin2A=sin2B，得2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；若A>B，則a>b，由正弦定理得asinA=bsinB，即sinA>sinB成立，故C正確;根據(jù)余弦定理得b2=a2+c.2?2accosB，即b2=82+102?2×8×10×12=84，所以b=2 21，符合條件的△ABC只有一個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選AC．??11.【答案】BC?【解析】若a?b=a?c，且a≠0，則a?(b?c)=0，即a⊥(b?c)或b=c，故A錯(cuò)誤；設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，|z1|= a2+b2，|z2|= c2+d2，則|z1z2|=|ac?bd+(ad+bc)i|= a2c2+b2d2+a2d2+b2c2= (a2+b2)(c2+d2)，|z1z2|= (a2+b2)(c2+d2)，故B正確；因?yàn)閍、b為非零向量，|a+b|=|a?b|，兩邊同時(shí)平方可得，(a+b)2=(a?b)2，即a2+b2+2a?b=a2+b2?2a?b，所以a?b=0，故C項(xiàng)正確；當(dāng)z1=i，z2=1時(shí)，滿足|z1+z2|=|z1?z2|，但不滿足z1?z2=0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．12.【答案】BD?【解析】∵|a|=|b|=2，|a+b|=2 3，所以12=|a+b|2=a2+2a?b+b2=4+2a?b+4，解得a?b=2，A錯(cuò)誤；設(shè)a，b的夾角為α，則cosα=a?b|a||b|=22×2=12，由于α∈[0,π]，∴a與b的夾角為π3，故B正確；|a?b|= (a?b)2= a2?2a?b+b2= 4?2a?b+4=2<|a+b|=2 3，故錯(cuò)誤；a?b在b上的投影向量為b?(a?b)|b|?b|b|=a?b?b22?b|b|=?b|b|=?12b，故D正確．故選：BD．13.【答案】(1,2)?【解析】命題p：由題意可得Δ=4?4a≥0，解得a≤1；命題q：由題意只需a<(x+1x)min，又當(dāng)x>0時(shí)，x+1x≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1是取等號(hào)，所以a<2，因?yàn)閜假q真，則a>1a<2，所以10，y>0．所以|CP|2=19x2+1681y2+427xy=19x2+1681y2+1627≥2 19x2×1681y2+1627=169，當(dāng)且僅當(dāng)19x2=1681y2，即3x=4y，即3|CA|=4|CB|時(shí)等號(hào)成立，所以|CP|的最小值為43．故答案為：43．17.【答案】(1)|a|=|b|=1，且|3a?2b|= 7，即有(3a?2b)2=7，即9a2?12a?b+4b2=7，9?12×1×cos+4=7，即有cos=12，由0≤≤π，可得a與b夾角為π3；(2)由(a+b)?b=a?b+b2=12+1=32，|a+b|= a2+b2+2a?b= 1+1+1= 3，則cos=(a+b)?b|a+b|?|b|=32 3= 32，由于0≤≤π，即有a+b與b夾角為π6；(3)|3a+b|2=9a2+6a?b+b2=9+6×12+1=13，即有|3a+b|= 13，|3a?b|2=9a2?6a?b+b2=9?6×12+1=7，即有|3a?b|= 7，故|3a+b||3a?b|= 13 7= 917．?18.【答案】(Ⅰ)由正弦定理及bsinC= 3sinC+3cosC，A=π3得csinB= 3sinC+3cosC，∴csin(C+A)=2 3(12sinC+ 32cosC)，∴csin(C+π3)=2 3sin(C+π3)，∵C∈(0,2π3)，∴C+π3∈(π3,π)，∴sin(C+π3)≠0，∴c=2 3．(Ⅱ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B( 3,3)，設(shè)C(t,0)，∴M(t+ 32,32)，∵|AM|=3，∴t=2 3，∴C(2 3,0)，又∵P為三角形的重心，∴P( 3,1)，∴圓P：(x? 3)2+(y?1)2=r2(00，得?1