安徽省2023～2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期5月月考試題[含答案]
數(shù)學(xué)試題考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊，選擇性必修第三冊一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．雙曲線的焦距為（）A． B． C． D．2．設(shè)某制造公司進行技術(shù)升級后的第x個月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，若時的觀測值，則時的殘差為（）A． B．1 C．3 D．63．的展開式中項的系數(shù)為（）A．15 B．20 C． D．4．李白的一句“煙花三月下?lián)P州”讓很多人對揚州充滿向往．據(jù)統(tǒng)計，唐朝約有120名詩人寫下了400多首與揚州有關(guān)的詩篇，某揚州短視頻博主從中選取了7首，制作了分別賞析這7首詩的7個短視頻（含甲、乙），準(zhǔn)備在某周的周一到周日發(fā)布，每天只發(fā)布1個，每個短視頻只在其中1天發(fā)布，若甲、乙相鄰兩天發(fā)布，則這7個短視頻不同的發(fā)布種數(shù)為（）A．180 B．360 C．720 D．14405．若隨機變量X的分布列為X01Pq3q則（）A． B． C． D．06．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中依次取出3個不同數(shù)字a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則不同的取法種數(shù)為（）A．16 B．24 C．32 D．487．甲、乙兩人玩剪子包袱錘游戲，若每次出拳甲勝與乙勝的概率均為，且兩人約定連續(xù)3次平局時停止游戲，則第7次出拳后停止游戲的概率為（）A． B． C． D．8．若直線l與曲線、曲線分別切于點，，則取最大值時，的值為（）A．e B．1 C． D．0二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。
在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．已知某地10月份第x天的平均氣溫為y（單位：℃），x，y線性相關(guān)，由x，y的前7天樣本數(shù)據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程為，則下列說法正確的是（）A．x，y負(fù)相關(guān)B．第8天的平均氣溫為18℃C．前7天平均氣溫的平均數(shù)為19℃D．若剔除偏離經(jīng)驗回歸直線最大的一個異常點，則相關(guān)系數(shù)變大10．已知某品牌的一種型號的LED燈的使用壽命X（單位：小時）服從正態(tài)分布，則下列說法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：若，則，．A．該型號LED燈的平均使用壽命是60000小時B．C．D．11．已知四棱柱的所有棱長均為2，點E為BC的中點，點F為的中點，點G為的中點，且AE，AD，兩兩垂直，過點G的平面與直線CD，，BC分別交于點H，M，N，則下列說法正確的是（）A．B．平面ACG與平面AEF夾角的余弦值為C．若平面，則線段MN的長度為D．當(dāng)點F到平面的距離最大時，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．小李同學(xué)準(zhǔn)備從4本講義類圖書與5本試卷類圖書中選3本購買，則講義類圖書與試卷類圖書至少各選1本的選擇方法種數(shù)為________．13．設(shè)隨機變量，其中且，，若，，則________．14．一質(zhì)點在平面內(nèi)每次只能向左或向右跳動1個單位，且第1次向左跳動．若前一次向左跳動，則后一次向左跳動的概率為；若前一次向右跳動，則后一次向左跳動的概率為．記第n次向左跳動的概率為，則________；________．四、解答題：本題共5小題，共77分。
解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（本小題滿分13分）已知．（1）若，求的值；（2）若，求m的值．16．（本小題滿分15分）通過調(diào)查，某市小學(xué)生、初中生、高中生的肥胖率分別為2%，3%，3%．已知該市小學(xué)生、初中生、高中生的人數(shù)之比為，若從該市中小學(xué)生中，隨機抽取1名學(xué)生．（1）求該學(xué)生為肥胖學(xué)生的概率；（2）在抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生的條件下，求該學(xué)生為高中生的概率．17．（本小題滿分15分）隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費空間的重要途徑．某媒體為了了解微短劇消費者的年齡分布，隨機調(diào)查了200名消費者，得到如下列聯(lián)表：年齡不超過40歲年齡超過40歲合計是微短劇消費者3045不是微短劇消費者合計100200（1）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認(rèn)為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)？（2）記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場規(guī)模及2024年中國微短劇預(yù)測的市場規(guī)模y（單位：億元）與x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份代碼x12345市場規(guī)模y9.436.8101.7373.9m根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗回歸方程是否有價值．參考公式：，其中，．回歸方程，其中，，，相關(guān)系數(shù)．若，則認(rèn)為經(jīng)驗回歸方程有價值．18．（本小題滿分17分）2024年4月25日—4月29日，“與輝同行”開啟了一場深入中原的文化之旅，讓河南文旅打開了流量密碼．某景區(qū)趁此時機，舉行五一游該景區(qū)網(wǎng)上購票抽獎活動，在網(wǎng)上購買該景區(qū)門票的游客，可通過手機掃景區(qū)提供的二維碼進入抽獎活動頁面，每張門票可從6個減免紅包中隨機抽取2個，6個紅包的金額分別為5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知該景區(qū)門票每張120元，全部實行網(wǎng)上購票．（1）記購買1張門票的游客通過抽獎獲得的紅包金額之和為X，求X的分布列與期望；（2）已知每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費30元、40元、60元的概率分別為，，，舉行此抽獎活動后預(yù)計可使該景區(qū)五一期間客流量增加40%，假設(shè)每位購票游客都進行了抽獎，回答下列問題并說明理由：①舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的門票收入是增加了，還是減少了？②舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的總收入是增加了，還是減少了？19．（本小題滿分17分）從中選取個不同的數(shù)，按照任意順序排列，組成數(shù)列，稱數(shù)列為的子數(shù)列，當(dāng)時，把的所有不同值按照從小到大順序排成一列構(gòu)成數(shù)列，稱數(shù)列為的子二代數(shù)列．（1）若的子數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求的子二代數(shù)列的前8項和；（2）若的子數(shù)列是遞增數(shù)列，且子二代數(shù)列共有項，求證：是等差數(shù)列；（3）若，求的子二代數(shù)列的項數(shù)的最大值．2023~2024學(xué)年第二學(xué)期安徽縣中聯(lián)盟高二5月聯(lián)考·數(shù)學(xué)試題參考答案、提示及評分細(xì)則1．【考點定位】考查雙曲線的幾何性質(zhì)．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力．【解題思路】在雙曲線中，，，，所以焦距為．故選B．【參考答案】B2．【考點定位】考查線性回歸．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力．【解題思路】因為時的預(yù)測值為，所以殘差為．故選B．【參考答案】B3．【考點定位】考查二項式定理．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力．【解題思路】的二項展開式的通項，令，得，所以的展開式的項的系數(shù)為．故選A．【參考答案】A4．【考點定位】考查排列組合．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】若甲、乙相鄰兩天發(fā)布，則這7個短視頻不同的發(fā)布種數(shù)為．故選D．【參考答案】D5．【考點定位】考查離散型隨機變量的分布列與均值．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】由題意，得，所以，．故選B．【參考答案】B6．【考點定位】考查排列組合與等差數(shù)列．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】若取出的3個數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，則a與c同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，所以a，b，c的不同的取法種數(shù)為．故選C．【參考答案】C7．【考點定位】考查概率．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】記第i次出拳是平局為事件，則，記第7次出拳后停止游戲為事件A，則，所以．故選D．【參考答案】D8．【考點定位】考查函數(shù)圖象的切線．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，推理論證能力，解決問題能力．【解題思路】因為，，直線l與曲線切于點，與曲線切于點，所以直線l的斜率，整理，得，設(shè)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最大值為1，當(dāng)時，，，．故選C．【參考答案】C9．【考點定位】考查線性回歸．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力，解決問題能力．【解題思路】因為，所以A正確；第8天的平均氣溫的預(yù)測值為18℃，但實際值不一定是18℃，B錯誤；由，及在經(jīng)驗回歸直線上，得，C正確；因為x，y負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，剔除偏離經(jīng)驗回歸直線最大的一個異常點后，變大，但r變小，D錯誤．故選AC．【參考答案】AC10．【考點定位】考查正態(tài)分布．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力．【解題思路】由可得A正確；，B錯誤；由，可得C正確；，D正確．故選ACD．【參考答案】ACD11．【考點定位】考查立體幾何與空間向量．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，空間想象能力，推理論證能力．【解題思路】對于A，如圖所示，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，所以，又，所以，又E為BC的中點，所以，，故A正確；對于B，以A為原點，AE，AD，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由，，，，得，，設(shè)平面ACG的法向量，則，即，取，得，因為，，設(shè)平面AEF的法向量，則，即，取，得，所以平面ACG與平面AEF夾角的余弦值為，故B正確；對于C，，因為M，N分別在直線，BC上，所以可設(shè)，，所以，，因為平面，平面，平面，所以，，即，，解得，，所以，，，故C正確；對于D，當(dāng)時，點F到平面的距離最大，因為平面與直線CD交于點H，設(shè)，則，，由，得，，故D錯誤．故選ABC．【參考答案】ABC12．【考點定位】考查排列組合．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】講義類圖書與試卷類圖書至少各選1本的選擇方法種數(shù)為．【參考答案】7013．【考點定位】考查二項分布的均值與方差．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】因為，所以，，，由，得，所以，，由，得，即，解得，所以，．【參考答案】14．【考點定位】考查概率與數(shù)列的綜合．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，解決問題能力．【解題思路】由題意，得，，，由，設(shè)，則，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，所以．【參考答案】（2分）（3分）15．【考點定位】考查二項式定理．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力．【解題思路】第（1）問通過賦值法求系數(shù)和；第（2）問通過二項式定理的通項求參數(shù)值．【參考答案】解：（1）在中，取，得，2分取，得，4分以上兩式相減，得．6分（2）的通項為，8分若，則，10分所以，解得或．13分16．【考點定位】考查全概率與條件概率．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，解決問題能力．【解題思路】第（1）問通過全概率公式求概率；第（2）問通過條件概率公式求概率．【參考答案】解：記“任取1名中小學(xué)生是肥胖學(xué)生”，“學(xué)生為小學(xué)生”，“學(xué)生為初中生”，“學(xué)生為高中生”．1分則，且，，兩兩互斥，2分由題意得，，，3分，，．5分（1）由全概率公式，得，即隨機抽取1名學(xué)生，該學(xué)生為肥胖學(xué)生的概率為0.025．8分（2）“抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生且為高中生”，則，11分所以，即在抽取的學(xué)生是肥胖學(xué)生的條件下，該學(xué)生為高中生的概率為0.24．15分17．【考點定位】考查獨立性檢驗，線性回歸中相關(guān)系數(shù)．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力，解決問題能力．【解題思路】第（1）問先求，再通過獨立性檢驗判斷分類變量是否有關(guān)聯(lián)；第（2）問通過給出的經(jīng)驗回歸方程求相關(guān)系數(shù)，再判斷．【參考答案】解：（1）列聯(lián)表如下：年齡不超過40歲年齡超過40歲合計是微短劇消費者301545不是微短劇消費者7085155合計1001002003分零假設(shè)“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”無關(guān)聯(lián)，4分因為，6分根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認(rèn)為“是微短劇消費者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.05．8分（2）由x的取值依次為1，2，3，4，5，得，，10分因為經(jīng)驗回歸方程為，所以，所以，12分所以．14分因為，所以該經(jīng)驗回歸方程有價值．15分18．【考點定位】考查離散型隨機變量的分布列．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，數(shù)據(jù)處理能力，解決問題能力．【解題思路】第（1）問先求隨機變量的分布列，再求期望；第（2）問通過隨機變量的期望求總收入，再判斷總收入是否增加．【參考答案】解：（1）由題意得X的取值可以是10，15，20，35，40，65，70，90．1分，，，，，，，，5分所以X的分布列為X1015203540657090P7分．9分（2）①假設(shè)不舉行抽獎活動，該景區(qū)在五一期間客流量為n人，則門票收入為120n元，10分舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間門票收入為，12分所以舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間門票收入減少了．13分②每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費30元、40元、60元的概率分別為，，，則期望值為．14分不舉行抽獎活動，該景區(qū)在五一期間總收入為，15分舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間總收入為，16分所以舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間總收入增加了．17分19．【考點定位】考查數(shù)列中新概念問題．【考核目標(biāo)】考查運算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，解決問題能力．【解題思路】第（1）問通過子二代數(shù)列的概念求數(shù)列的前8項和；第（2）問通過子二代數(shù)列的概念和遞增數(shù)列，以及子二代數(shù)列中共有項判斷出，從而證明出是等差數(shù)列；第（3）問通過構(gòu)造子數(shù)列，證明互不相等，從而得到子二代數(shù)列的項數(shù)的最大值為．【參考答案】（1）解：由題意，得，1分所以數(shù)列的前8項依次為：2，4，6，8，12，14，16，24，2分因為，所以數(shù)列的前8項和為86．4分（2）證明：因為是遞增數(shù)列，且共有項，所以，5分所以，，，…，這個數(shù)互不相等，且都是中的項，6分同理，，7分所以，，，…，，這個數(shù)互不相等，且都是中的項，又中共有項，所以，，…，，9分所以，所以是等差數(shù)列．10分（3）解：因為，當(dāng)時，的結(jié)果共有個，11分設(shè)，則，12分若存在，，，使得，則，所以，14分若，設(shè)，則，是偶數(shù)，是奇數(shù)，矛盾，所以，，16分所以的4950個結(jié)果可以互不相等，所以的項數(shù)的最大值為4950．17分。
