河南駐馬店市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)2023～2024學年高二數(shù)學下學期5月月考試題[含答案]

2023-2024學年高二下學期第三次月考數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡并交回4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一、二、三冊一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（ ）A．48 B．36 C．24 D．82．在等比數(shù)列中，，，則（ ）A． B． C．1 D．43．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（ ）A． B．C． D．4．已知由樣本數(shù)據(jù)組成的一個樣本，變量x，y具有線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗回歸方程為，并計算出變量x，y之間的相關(guān)系數(shù)為，，，則經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過（ ）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限5．已知直線與圓相交于A，B兩點，則|的最小值為（ ）A． B． C． D．6．已知，，則（ ）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，則“有極值”是“”的（ ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知拋物線的焦點為F，過點作C的兩條切線，切點為A，B，且Q為C上一動點，若的最小值為5，則△PAB的面積為（ ）A．75 B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在的展開式中，各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32，則（ ）A．常數(shù)項為 B．C．項的系數(shù)為40 D．項的系數(shù)為-16010．若數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)n，都有，則稱為“凸數(shù)列”．下列結(jié)論正確的是（ ）A．若分，則數(shù)列為“凸數(shù)列”B．若，則數(shù)列為“凸數(shù)列”C．若單調(diào)遞減數(shù)列的前n項和為，則數(shù)列為“凸數(shù)列”D．若數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為“凸數(shù)列”，則為單調(diào)遞減數(shù)列11．已知，，，且a，b，c成等差數(shù)列，隨機變量X的分布列為X123Pabc下列選項正確的是（ ）A． B．C． D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知隨機變量，且，則______．13．用4種不同顏色的顏料給圖中五個區(qū)域涂色，要求每個區(qū)域涂一種顏色，有公共邊的兩個區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法共有______種．14．已知函數(shù)在R上連續(xù)且存在導函數(shù)，對任意的實數(shù)x滿足，當時，．若，則a的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知數(shù)列的前n項和．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前n項和．16．（15分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，BAD為銳角，△PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD，，且四棱錐P-ABCD的體積為2．（1）證明：AD⊥PB．（2）若E是PC的中點，求平面ABE與平面PAD夾角的余弦值．17．（15分）某考試分為筆試和面試兩個部分，每個部分的成績分為A，B，C三個等級，其中A等級得3分、B等級得2分、C等級得1分甲在筆試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，在面試中獲得A等級、B等級、C等級的概率分別為，，，甲筆試的結(jié)果和面試的結(jié)果相互獨立．（1）求甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級的概率；（2）求甲筆試和面試的得分之和X的分布列與期望．18．（17分）已知雙曲線的離心率為，半焦距為，A為C的左頂點，直線．（1）求C的方程．（2）若l過定點，且交C于E，F(xiàn)兩點（異于點A），證明：直線AE與AF的斜率之積為定值．（3）若l與C有唯一的公共點M，過點M且與l垂直的直線分別與x軸y軸相交于，兩點，當點M運動時，求點的軌跡方程．19．（17分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：．2023-2024學年高二下學期第三次月考數(shù)學試卷參考答案1．A．2．B設(shè)的公比為q，則，所以．由，得，所以．3．C 因為，所以，則，，故函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．4．B 由相關(guān)系數(shù)為，知x，y負相關(guān)，所以．又，，即點在經(jīng)驗回歸直線上，且在第三象限，所以經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過第二、三、四象限．5．A將l的方程轉(zhuǎn)化為，令解得，即l過定點．當OM⊥l時，取得最小值．6．B 因為，，所以，故．7．C，若有極值，則，解得，所以“有極值”是“”的充要條件．8．D 當F，Q，P三點共線時，取得最小值，且，所以，解得，所以．由，得．設(shè)，，則曲線在處的切線方程為，即．因為切線過點，所以．同理可得，所以直線AB的方程為，即．聯(lián)立方程組得，則．因為直線AB過焦點F，所以，點P到直線的距離，所以．9．BD 因為展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和為32，所以，解得，常數(shù)項為，項的系數(shù)為．10．BC 若，則，故A錯誤．若，則，故B正確．若數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，所以，即，故C正確．若數(shù)列的前n項和為，數(shù)列為“凸數(shù)列”，則，即，所以，則從第二項起，為單調(diào)遞減數(shù)列，故D錯誤．11．BCD 由得A錯誤，B正確．由，得，則，C正確．，當時，取得最大值，且最大值為，D正確．12．0.5 因為，所以，則．13．72 1，2，3三個區(qū)域有種涂法，當1和5區(qū)域同色時，有種涂法，當1和5區(qū)域不同色時，有種涂法．綜上，共有72種涂法．14．由，可得．令，則，，所以的圖象關(guān)于直線對稱．當時，，所以，又在R上連續(xù)，所以在上單調(diào)遞增．由，可得，即，所以，解得．15．解：（1）當時，．當時，．因為，所以．（2）由（1）可得，則．16．（1）證明：取AD的中點O，連接OB，OP，BD．因為△PAD是正三角形，所以．又平面底面ABCD，且平面底面，所以底面ABCD．因為，所以，，解得，又∠BAD為銳角，所以，則△ABD為正三角形，從而OB⊥AD．因為，所以AD⊥平面PBO．又平面PBO，所以AD⊥PB．（2）解：以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，所以，．設(shè)平面ABE的法向量為，由得令，得．由圖可知，平面PAD的一個法向量為．故平面ABE與平面PAD夾角的余弦值為．17．解：（1）甲在筆試和面試中恰有一次獲得A等級的概率為．（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，5，6，，，，，，則X的分布列為X23456P所以．18．（1）解：因為半焦距為，所以．因為離心率為，所以．由，得，則C的方程為．（2）證明：因為l過定點，所以，聯(lián)立方程組消去x得，由，，得，且．設(shè)，，則，，直線AE的斜率，直線AF的斜率，所以，即直線AE與AF的斜率之積為定值．（3）解：因為與C有唯一的公共點M，所以l與C相切．當時，過M且與l垂直的直線與x軸重合，不符合題意，所以．聯(lián)立方程組消去x得．由，得，且．記切點，則，，代入l得，即．過點M且與l垂直的直線方程為．令，得，令，得，所以因為，，所以．因為，所以，代入，化簡得．因為，所以，故點的軌跡方程為．19．（1）解：因為，所以．若，則恒成立，當時，，當時，．若，令，解得．若，即，則恒成立，當時，，當時，；若，即，則當時，，當時，；若，即，則在上恒成立；若，即，則當時，，當時，．綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：要證，需證．因為，，所以，則只需證明，即證，即證．令，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故．令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故，從而是，證畢。