2023年考研數(shù)學(xué)真題及解析

2023 年考研數(shù)學(xué)〔一〕真題一、選擇題：1~8 小題，每題 4 分，共 32 分. 以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上1. x ? 0+ 時(shí)，以下無(wú)窮小量中最高階是〔 〕( )A. òx0et2 - 1 dt B. òx ln(1+0t3 )dtC. òsin x sin t2dt D. ò1-cos xsin t3 dt0【答案】 Dòx (et2-1)dtòx (et20-1)dt 1 1【解析】( A) lim 0x?0+ x3= lim 0x?0+= ，可知 x ? 0+ ，òx (et2 -1)dt ~ x3 ，3x2 3 0 3ò x ln(1+ t3 )dt2 x 2 5(B) lim 0= lim = ，可知ò ln(1+ t3 )dt ~ x 2 ， x ? 0+x?0+5ln(1+ x3 )x 2òsin x sin t 2dtx?0+ 2 3 5 0 5x25(C) lim 0= lim sin(sin2 x) ×cos x = lim cos x = 1，可知òsin x1sin t2dt ~ x3 ，x?0+x ? 0+x3ò 1-cos xx?0+10 2sin t3 dt3x2x?0+ 3 3 0 3sin3 (1- cos x) sin x(1- cos x)3 sin x1(D) lim 0= lim = = ，可知x?0+1-cos xx5 x?0+ 5x415x410 2ò sin t3 dt ~0x5 ， x ? 0+通過(guò)比照， ò1-cos x0sin t3 dt 的階數(shù)最高，應(yīng)選(D)2. 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)有定義，且lim f (x)= 0 ，則〔 〕x?0xA. 當(dāng)lim f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo).x?0x2B. 當(dāng)limx?0f (x) = 0 ， f (x)在 x = 0 處可導(dǎo).x.C. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)， lim f (x) = 0x?0x2.D. 當(dāng) f (x)在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)， lim f (x) = 0x?0【答案】C 【解析】當(dāng) f (x) 在 x = 0 處可導(dǎo)時(shí)，由 f (0) = lim f (x)= 0 ，且xx?0f ￠(0) = limf (x) - f (0)= limf (x) ，也即limf (x) 存在，從而limf (x) = 0 ，應(yīng)選Cx?0x - 0x?0 xx?0 xx?0n ′ (x, y, f (x, y )x2 + y23. 設(shè)函數(shù) f (x, y)(0,0)f (0,0)= 0? ?fn =?f ?, ,-1 d在點(diǎn) 處可微，， ? ?x ?y÷ ( ) 非零向量 與n × (x, y, f (x, y )x2 + y2n 垂直，則〔 〕è ? 0,0A. limd × (x, y, f (x, y )x2 + y2(x, y )?(0,0)= 0 存在. B.limd ′ (x, y, f (x, y )x2 + y2(x, y )?(0,0)= 0 存在.limC. (x, y )?(0,0)= 0 存在. D.lim(x, y )?(0,0)= 0 .【答案】 A【解析】函數(shù) f (x, y)在點(diǎn)(0,0)處可微， f (0,0)= 0 ，x2 + y2f (x, y) - f (0,0) - f ￠(0,0) x - f ￠(0,0) ylimx?0 y?0x yx2 + y2f (x, y) - f ￠(0,0) x - f ￠(0,0) y= 0 ，limx?0 y?0x y = 0由于n ×(x, y, f (x, y))= f￠(0,0) x + f ￠(0,0) y - f (x, y)，所以n × (x, y, f (x, y )x2 + y2x ylim(x, y )?(0,0)4. 設(shè) R 為冪級(jí)數(shù)?￥n=1= 0 存在a rn 的收斂半徑， r 是實(shí)數(shù)，則〔 〕nA. ?￥n=1a rn 發(fā)散時(shí)， r 3 R . B. ?￥nn=1a rn 發(fā)散時(shí)， r ￡ R .nC. r 3 R 時(shí)， ?￥n=1a rn 發(fā)散. D. r ￡ R 時(shí)， ?￥nn=1a rn 發(fā)散.n【答案】 A【解析】R 為?￥n=1a rn 的收斂半徑，所以?￥nn=1a rn 在(-R, R) 必收斂，所以?￥nn=1a rn 發(fā)散n時(shí)， r 3 R .應(yīng)選 A5. 假設(shè)矩陣 A 經(jīng)初等列變換化成B ，則〔A. 存在矩陣 P ，使得 PA = B .〕B.存在矩陣 P ，使得 BP = A .C.存在矩陣 P ，使得 PB = A .D. 方程組 Ax = 0 與 Bx = 0 同解.【答案】B【解析】 A 經(jīng)過(guò)初等列變換化成B ，存在可逆矩陣 P 使得 AP= B ,令 P-1 = P ，得出A = BP ,應(yīng)選Bx - a6. 直線 L : 2 =1 a1y - b 2 - c2 = 2b c1 11x - a與直線 L : 3 =2 a21 1y - b 2 - c3 = 3b c2 2相交于éa ùa = ê i úi一點(diǎn)，法向量iêb ú ， i = 1,2,3 . 則??êc úiA. a1可由a , a2 3線性表示. B. a2可由a , a1 3線性表示.C. a可由a , a線性表示. D. a , a , a線性無(wú)關(guān).3 1 2 1 2 3【答案】C? x ? ? a ? ? a ?x - a= y - b2 - c? ÷ = ? 2 ÷ +? 1 ÷a +ta【解析】令 L : 2a2 = 2b c= t ，即有? y ÷? b ÷t ? b ÷ =21 ? ÷ ?2 ÷ ? 1 ÷ 2 111 1 1? x ? ? a ? ? a ?è z ? è c? è c ?? ÷ = ? 3 ÷ + ?2 ÷ =a+taa a = a a由 L 方程得? y ÷? b ÷t ? b ÷，兩條線相交，得 +t +t2 ? z ÷ ?3 ÷ ? 2 ÷ 3 22 1 3 232è ? è c ? è c ?即a +ta2 1- ta2= a ? ta3 1+ (1- t)a2= a ，應(yīng)選C37. 設(shè) A ， B ， C 為三個(gè)隨機(jī)大事，且P(A)= P(B)= P(C )= 1 ， P(AB)= 0 ，4P(AC )= P(BC )= 1 ，則 A ， B ， C 中恰有一個(gè)大事發(fā)生的概率為123 2 1 5A. . B. . C. . D. .4 3 2 12【答案】 D【解析】 P( ABC) = P( ABUC) = P( A) - P( A(BUC))= P(A) - P(AB) - P(AC) + P(ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 14 12 6P(BAC) = P(BAUC) = P(B) - P(B( AUC))= P(B) - P( AB) - P(BC) + P( ABC) = 1 - 0 - 1 + 0 = 14 12 6P(CAB) = P(C AUB) = P(B) - P(C( AUB))= P(C) - P(CB) - P(CA) + P( ABC) =1 - 1 -1 + 0 = 14 12 12 12所以 P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) =1 + 1 + 1 = 58. 設(shè) x , x1 2, , xn6 6 12 12為來(lái)自總體 X 的簡(jiǎn)潔隨機(jī)樣本，其中P(X = 0)= P(X = 1)= 1 ，2F(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則利用中心極限定理可得P? ?100 X?èii=1?￡ 55÷ 的近似值為?A. 1 - F(1). B. F(1). C.1 - F(0,2). D. F(0,2).【答案】 B【解析】由題意 EX =1 ， DX =1 ,依據(jù)中心極限定理?100 X~ N (50, 25)2 4 i ,i=1??100 ?? 100??i=125P ?X - 50i?÷55 - 50 ÷￡所以 P?èX ￡ 55÷ =i ? ?= F(1)25÷i=1 ? ÷è ?二、填空題：9~14 小題，每題 2 分，共 24 分.請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上.é 1 1 ù9. ê(lim -ex -)ú = .x?0 ?【答案】-11 ln 1 + x ?é 1 1ù éln (1+ x)- ex +1ù ln (1+ x)- ex +1【解析】lim êx- ( )ú = lim ê x ( )ú = lim x?0 ? e -1ln 1+ x ? x?0 ? (e -1)ln 1+ x ?1 1x?0 x2ln (1+ x)- ex +1x - x2 -1- x - x2 +12 2= lim = lim = -1x?0 x2 x?0 x2í10. 設(shè) ì? x =(t2 + 1)，則 = .d 2 ydx2?? y = ln t + t2 + 12【答案】-t =1dy【解析】1dy dtdx dt1+ t 2= = = 1dx t tt 2 +1d ? dy ? d ? dy ?? ÷ ? ÷1 t 2 +1t 2 +1d 2 y =è dx ? =è dt ? dt = - = -dx2 dx dt dx t 2 t t3d 2 ydx22得 = -t =1ò+￥011. 假設(shè)函數(shù) f (x)滿足 f ￠(x)+ af ￠(x)+ f (x)= 0(a > 0)，且 f (0)= m ， f ￠(0)= n ，則f (x)dx = .【答案】n + am【解析】特征方程l2 + al +1 = 0 ，則l + l1 2= -a, l ×l1 2= 1，所以兩個(gè)特征根都是負(fù)的。

ò+￥ f (x)dx = -ò+￥ [ f ￠(x) + af ￠( x)]dx = -[ f ￠(x) + af ( x)] +￥ = n + am012. 設(shè)函數(shù) f0(x, y)= òxy ext2dt ，則0?2 f?x?y( ) = .【答案】4e?f02 ?2 f1,1【解析】= ex( xy )× x ， = ex ( xy )2× x = 3x3ex3 y2+ ex3 y2 ，( ) = 4e?y ?y?x1,1?2 f?x?ya013. 行列式0 - 1 1a 1 - 1 = .- 1 1 a 01 - 1 0 a【答案】a4 - 4a2【解析】a 0 -1 11 -1 0 a1 -1 0 a1 -1 0 a-11a0-11a00 0aa00111-10aa0-110 a-11- a200-22 - a20 a 1-1 = - 0 a1 -1= - 0 a 1-1 = -a 0 a 1 -11 -1 0 a= -a 0 a 10 0 1-1 = -a [(a)]é?(4 - a2 )ù? = a4 - 4a210 0 -2 2 - a2?p14. 設(shè) x 服從區(qū)間?-, p ? 上的均勻分布，Y = sin X ，則Cov(X ,Y )= .÷è 2 2 ?2【答案】p-ì 1 p??< x < p【解析】 f (x) = íp 2 2222??0 其他2Cov(X ,Y )= EXY - EXEY=òp 1x sin xdx -òp1 xdxòp1 sin xdx = òp1 x sin xdx = 2 -p p2-p p2-p p2-p p p2三、解答題：15~23 小題，共 94 分. 請(qǐng)將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上. 解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15. 〔此題總分值 10 分〕求函數(shù) f (x, y )= x3 + 8 y3 - xy 的極值.【答案】- 1216ì?f? ?x【解析】令í?f= 3x2 - y = 0ìx = 1ìx = 0 ? 6得出í 或í? = 24 y2 - x = 0? y = 0 ? y = 1?? ?y?2 f = 6x = A, ?2 f = -1 = B, ?2 f ?? 12= 48 y = C?x2 ?x?y ?y2當(dāng) x = 0, y = 0 時(shí)， AC - B2 < 0當(dāng) x =, y = 時(shí), A = 1,B = -1,C = 4 , AC - B2 > 01 16 121 1 ? 1 ?3 ? 1 ?3 1 1所以 f ( , ) = ? ÷ + 8? ÷ - 6 × = -6 12 è 6 ? è 12 ? 12 21616. 〔此題總分值 10 分〕4x - y x + y計(jì)算曲線積分 I = òdx +dy ，其中 L 是 x2 + y2= 2 ，方向?yàn)槟鏁r(shí)針L 4x2 + y2 4x2 + y方向.【答案】p【解析】 P =4x - y, Q =x + y ?Q，且= ?P= -4x2 + y2 - 8xy4x2 + y24x2 + y?x ?y (4 x2 + y2 )2取逆時(shí)針?lè)较?L14x2 + y2= x 2 ，則I = ò4x - ydx +x + y = ò4x - ydx +x + ydy + ò4x - ydx +x + ydyL 4x2 + y24x2 + yL-L4x2 + y24x2 + yL 4x2 + y24x2 + y1 1ò4x - y=dx +x + y1òdy =(4x - y)dx + (x + y)dy = 2òòdxdy =2 p x x = p?1L 4x2 + y2 4x2 + y x 2 L1x 2 x 2 2D2n? ÷17. 〔此題總分值 10 分〕設(shè)數(shù)列{a}滿足a= 1，(n +1)a= ? n + 1 ? a，證明：當(dāng) x < 1時(shí)冪級(jí)數(shù)?￥a xn 收n 1斂，并求其和函數(shù).n +1 è ?nn=1【解析】依據(jù)(n +1)an +1= ? n + 1 ? a T r = lim2? ÷è ? n n?￥= lim = 1an+1ann + 12n +1n?￥所以收斂半徑為 R =1 =1，所以當(dāng) x < 1時(shí)冪級(jí)數(shù)?￥rn=1a xn 收斂。

n令s(x) = ?￥a xn ， s￠(x) = ?￥nna xn-1 = ?￥n(n +1)axnn+1= a + ?￥1(n +1)axnn+1= 1+ ?￥(n + 1)a xn2 nn=1 n=1 n=0 n=1 n=11= 1+ ?￥ na xn + ?￥ 1 a xn = 1+ x?￥ na xn-1 + s(x)n 2 nn=1 n=1n 2n=1所以 s￠(x) = 1+ xs￠(x) + 1 s(x) 整理為(1- x)s￠(x) - 1 s(x) = 1 ，即2 2s￠(x) - 1 1s(x) =1 ，解得 s(x) = -2 +c ，依據(jù)s(0) = 2 ，得出2 (1- x) (1- x)1- x1- xs(x) = -2 + 218. 〔此題總分值 10 分〕x2 + y2設(shè)S 為由面 Z =1 ￡ x2 + y2 ￡ 4)的下側(cè)， f(x)是連續(xù)函數(shù)，計(jì)算(I = òò é?xf (xy)+ 2x - yù?dydz + é? yf (xy)+ 2 y + xù? dzdx + é?zf (xy)+ zù? dxdy .S【答案】14p3【解析】 Z￠ =xx , Z￠ = yx2 + y2x2 + y2yòò{}I = òò ?é xf (xy )+ 2x - yù?dydz + é? yf (xy )+ 2 y + xù? dzdx + é? zf (xy )+ z ù? dxdyS{= é? xf(xy)+ 2x - yù? (Z ￠) + é? yf(xy)+ 2 y + xù? (Z ￠) - é? zf(xy)+ z ù?}dxdyx yDxyx2 + y2= òòx2 + y2é? f(xy )+ 2ù? - éf (xy )+ x2 + y2 ù dxdyDxy2p 2? ?14p= òò x2 + y2 dxdy = ò dq ò r 2 dr =0 1 3Dxy{ }19. 〔此題總分值 10 分〕設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間[0,2]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， f (0)= f (2)= 0 ， M = max f (x) ，x?(0,2 )證明：〔1〕存在x ? (0,2)，使得 f ￠(x )3 M ；〔2〕假設(shè)對(duì)任意的 x ? (0,2)， f ￠(x) ￡ M ，則 M = 0 .【解析】〔1〕由 M = max{f (x)}，假設(shè) f (c) = Mx?(0,2 )假設(shè)c ?[0,1]，則在[0,c] 使用拉格朗日，得 f ￠(x ) = f (c) - f (0) =f (c)= M 3 Mc - 0 c cf (2) - f (c)2 - c假設(shè)c ?[1,2]，則在[c,2] 使用拉格朗日，得 f ￠(x ) =綜上所述，存在x ? (0,2)，使得 f ￠(x )3 M= = 3 M- f (c)2 - c-M2 - c(2)假設(shè) M > 0 ，則 f (c) - f (0) = òcf ￠(x)dx ￡ òcf ￠(x) dx ￡ òc Mdx ￡ Mc0 0 0f (2) - f (c) = ò2f ￠(x)dx ￡ ò2f ￠(x) dx ￡ ò2 Mdx ￡ M (2 - c)c c c則2M < Mc + M (2 - c) = 2M ，假設(shè)不成立，所以M = 0 .20. 〔此題總分值 11 分〕( ) ? x? ? y ?è設(shè)二次型 fx , x= x2+ 4x x+ 4x2 經(jīng)正交變換?1 ÷ = Q?1 ÷ 化為二次型21 2 11 2 2x ? è y ?2g(y , y )= ay 2 + 4 y y + by 2 ，其中a 3 b .1 2 1 1 2 2(1) 求a ， b 的值；(2)求正交矩陣Q .ìa = 4=【答案】(1) í ,?b 1? 1 -2?【解析】(1) f = xT Ax ，其中 A = ? -2 4 ÷ ,經(jīng)過(guò)正交變換 x = Qy ，è ?? a 2 ?f = (Qy)T A(Qy) = yT (QT AQ) y = yT By ,其中 B = ? 2 b ÷ ，其中 B = QT AQ ，è ?ìtr(A) = tr(B) ìa = 4=所以 A, B 相像且合同，故í?| A | | B |，得出í=?b 1(2) 設(shè) P-1 AP= ù, P -1BP= ù ,則(PP -1 ) A(PP -1 ) = B ，所以Q = PP -11 1 2 2 1 2 1 2 1 2lE - A = l -1 2 ，得出l = 0, l = 52 l - 4 1 2? -1 2 ? ? 1 -2? ? 2 ?(0E - A) = ?2 -4÷ ? ? 0 0÷，故x = ? ÷1 1è ? è ? è ?(5E - A) = ? 4 2? ? ? 2 1? ，故x = ?1 ? ，故 P = ? 2 1 ?? ÷ ? ÷ ? ÷ ? ÷è 2 1 ? è 0 0? 2 è -2? 1 è 1 -2 ?? -4 -2? ? 2 1 ? ?1 ?(0E - B) = ? -2 -1÷ ? ? 0 0÷ ，故b 1= ? -2÷è ? è ? è ?? 1 -2? ? 1 -2? ? 2 ? ? 1 2?(5E - B) = ? -2 4÷ ? ? 0 0÷ ，故b = ?1 ÷ ，故 P = ? -2 1 ÷è故Q = PP -11 2? 4?= ? 5? - 3è 5? è ?5 ÷- 3 ?÷4 ÷5 ?2 è ? 2 è ?21. 〔此題總分值 11 分〕設(shè) A 為 2 階矩陣， P = (a, Aa )，其中a 是非零向量且不是 A 的特征向量.（1） 證明 P 為可逆矩陣；（2） 假設(shè) A2a + Aa - 6a = 0 ，求 P-1 AP ，并推斷 A 是否相像于對(duì)角矩陣.【解析】(1) a 是非零向量且不是 A 的特征向量.,則 Aa 1 ka ，所以 Aa 與a 線性無(wú)關(guān)， 所以r(P) = 2 ，即 P 為可逆矩陣。

2)由 A2a + Aa - 6a = 0 ，即( A2 + A - 6E)a = 0 ，a 是非零向量，所以( A2 + A - 6E)x = 0 有非零解，故A2 + A - 6E = 0 ，即( A + 3E)( A - 2E) = 0得(A + 3E) = 0或( A - 2E) = 0 ，假設(shè)( A + 3E) 1 0 ，則有( A - 2E)a = 0 ，得出 Aa = 2a ， 與題意沖突，故 A + 3E = 0 ，同理可得A - 2E = 0 ，特征值為 3,2，所以可以對(duì)角化22. 〔此題總分值 11 分〕設(shè)隨機(jī)變量 X , X , X1 2 3相互獨(dú)立，其中 X 與 X1 2均聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，X3的概率分布為 P{X3= 0}= P{X3= 1}= 1 ，Y = X X2 3 1+ (1 - X )X .3 2（1） 求二維隨機(jī)變量(X,Y )的分布函數(shù)，結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)F(x)表示.1（2） 證明隨機(jī)變量Y 聽(tīng)從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.ì 1 F(x)[1+ F( y)], x ￡ y? 2【答案】(1) í 1??? 2F( y)[1+ F(x)], x > y【解析】 F(x, y) = P{X1￡ x,Y ￡ y} = P{X1￡ x, X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y}P{X3= 0}P{X1￡ x, X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y | X3= 0}+ P{X3=1}P{X1￡ x, X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y | X3=1}1 P{X2 1￡ x, X2￡ y} + 1 P{X2 1￡ x, X1￡ y} = 1 F(x)F( y) + 1 F(min(x, y)) 2 2ì 1 F(x)[1+ F( y)], x ￡ y? 21í?? F( y)[1+ F(x)], x > y? 2〔2〕 FY(y) ) = P{Y ￡ y} = P{X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y}= P{X3= 0}P{X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y X3= 0}+ P{X3= 1}P{X X3 1+ (1- X )X3 2￡ y X3= 1}= 1 P{X 2 2￡ y} + 1 P{X2 1￡ y} =1 F( y) + 1 F( y) = F( y)2 223. 〔此題總分值 11 分〕設(shè)某種元件的使用壽命T 的分布函數(shù)為ì ? t ?mF (t )= ?1 - e-? q÷ , t 3 0,í è ??? 0, 其他.其中q ， m 為參數(shù)且大于零.（1） 求概率 P{T > t}與 P{T > S + t T > S}，其中 S > 0 ， t > 0 .（2） 任取n 個(gè)這種元件做壽命試驗(yàn)，測(cè)得它們的壽命分別為t , t1 2, , tn，假設(shè)m ，求q .q 的最大似然估量值ù-? t ?mè?【答案】(1) P{T > t}= 1- F(t) = e?q÷， P{T > S + t T > S}= e-? t ?mè??q÷m n1 ?nt mii=1(2) qù =í q mqè ?ì mtm-1 -? t ?m【解析】(2)求得概率密度為f (t) = ? e ? ÷ t 3 0??0 t＜0- 1 ?n t m構(gòu)造最大似然函數(shù)為L(zhǎng) (q )= mn (t t1 2t )m-1q - nme qmnii=1取對(duì)數(shù)ln L (q )= n ln m + (m -1)ln(t t1 2d ln L (q ) nm 1 ?n t ) - nm lnq - 1n q mm n1 ?nt m ii=1ù?n t m ii=1求導(dǎo)可得= - - +mdq q q m+1t mii=1= 0 ，解出q =。