清華微積分(高等數(shù)學(xué))課件-微積分(一)小結(jié)
單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,*,*,微積分,（一）,小結(jié),一.函數(shù),1.定義,12/9/2024,1,,（1）有界性,,,2.函數(shù)的初等性質(zhì),（3）奇偶性,（4）周期性,,（2）單調(diào)性,12/9/2024,2,,,4.會分析復(fù)合函數(shù)中變量的關(guān)系，會,,求給定函數(shù)的反函數(shù)3.利用函數(shù)符號描述有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)；,要求,1.要熟練掌握基本初等函數(shù)的定義,,域、值域及圖形；,2.利用給定條件或問題，找出函數(shù)關(guān)系,,及定義域；,12/9/2024,3,,1.極限的定義,二、函數(shù)的極限,12/9/2024,4,,2.極限的性質(zhì),（1）唯一性:,,（2）有界性:,（3）保號性:,12/9/2024,5,,3.極限的運(yùn)算法則,（1）四則運(yùn)算法則,（2）復(fù)合函數(shù)的極限法則,4.無窮小量的比較,（3）夾逼定理,12/9/2024,6,,,,,[注意],并非所有無窮小量都可以進(jìn)行比較,例如,而,不存在,12/9/2024,7,,搞清以下關(guān)系,（4）無窮大量與無界函數(shù)的關(guān)系.,12/9/2024,8,,6.求未定型極限的方法,(1)利用基本公式:,12/9/2024,9,,(2),利用等價(jià)無窮小替換；,(3)利用羅必達(dá)法則；,(4)利用夾逼定理；,(5)利用泰勒公式,12/9/2024,10,,要求,(2)熟練掌握極限的性質(zhì)，能夠運(yùn)用它們分析證明簡單的問題.,(3)能夠熟練的運(yùn)用極限的各種運(yùn)算法則、重要極限及定理求函數(shù)的極限。
1)正確理解函數(shù)極限的概念12/9/2024,11,,三.,連續(xù)函數(shù),1.定義,,要求,(1)能敘述兩種函數(shù)在 連續(xù)的等價(jià)定義.,(2)會確定間斷點(diǎn)及其類型.,12/9/2024,12,,2.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),(1)兩個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算,,和復(fù)合得到的新函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)2)若函數(shù) ，則有以下重,,要定理：,1）有界定理,2）根值定理（零點(diǎn)定理）,3）介值定理,12/9/2024,13,,4）最值定理,3.初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的,要求,(2)掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用它們分析證明簡單的問題1)會利用初等函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)的極限12/9/2024,14,,四.,導(dǎo)數(shù)與微分,1.基本概念,(1)導(dǎo)數(shù)定義,設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 及其附近有定義，,,如果極限,,存在，則稱函數(shù) 在 可導(dǎo)，,,在 的導(dǎo)數(shù)記作 12/9/2024,15,,(2)微分定義,12/9/2024,16,,(3)高階導(dǎo)數(shù)的定義,12/9/2024,17,,(4)可微與可導(dǎo)的關(guān)系,2.基本導(dǎo)數(shù)公式,(5)可微與連續(xù)的關(guān)系,12/9/2024,18,,12/9/2024,19,,12/9/2024,20,,3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,(1),導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t,(3)隱函數(shù)求導(dǎo)法,(4)反函數(shù)求導(dǎo)法,(5)參數(shù)方程求導(dǎo)法,(6)對數(shù)微分法,(7)高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式,12/9/2024,21,,4.導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),(1)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)定理,(2)導(dǎo)數(shù)的介值定理,(3)導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)無第一類間斷點(diǎn)。
12/9/2024,22,,要求,(1)掌握導(dǎo)數(shù)概念、物理意義及幾何意義，會用定義求分段函數(shù)在分點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)2)掌握微分概念和幾何意義以及微分和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系3)熟記基本導(dǎo)數(shù)（微分）公式4)熟練運(yùn)用各種求導(dǎo)(微分)法則求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分12/9/2024,23,,五.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,1.微分學(xué)基本定理,(1)羅爾定理,(2)拉格朗日定理,(3)柯西定理,2.函數(shù)的增減性,12/9/2024,24,,3.函數(shù)的極值,(1)極值的概念:,12/9/2024,25,,(2)極值的必要條件（費(fèi)馬定理）,(3)極值的充分條件,12/9/2024,26,,4.函數(shù)的凸性,(2)凸性的判別法,12/9/2024,27,,(3)拐點(diǎn)的定義與判別,1)定義,曲線的上凸弧與下凸弧的分界點(diǎn),12/9/2024,28,,5.曲線的漸近線,12/9/2024,29,,12/9/2024,30,,6.羅必達(dá)法則,12/9/2024,31,,7.泰勒公式,（1）皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式,,,12/9/2024,32,,2.,拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式,,,12/9/2024,33,,3.常用的麥克勞林公式,,,12/9/2024,34,,,,12/9/2024,35,,要求,12/9/2024,36,,(9),利用泰勒公式求極限、證明不等式,(8),會用直接展開或間接展開的方法求,,函數(shù)的泰勒公式,12/9/2024,37,,[例1],[證],設(shè),12/9/2024,38,,從而,所以,12/9/2024,39,,[例2],[證],則,12/9/2024,40,,[例3],[證],反證法。
設(shè)另有交點(diǎn),則對函數(shù),有,由羅爾定理,12/9/2024,41,,12/9/2024,42,,。
