浙江省永嘉縣2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬考試試題卷[含答案]

2024屆高考數(shù)學(xué)模擬卷試題卷本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2. 作答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試題卷上.3. 非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4. 考生必須保持答題卷的整潔，不要折疊、不要弄破.選擇題部分 (共58分)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合合題目要求的.1. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，求出是（）A. 0 B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】利用賦值即可求解.【詳解】令則，令則，所以，故選：D2. 集合,則以下可以是的表達(dá)式的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)求導(dǎo)，再利用集合的互異性，即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，，，，不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以，不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)?，所以，，，，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，，，，后面再求?dǎo)，導(dǎo)數(shù)均為，不滿足集合的互異性，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：C.3. 若，，則的最小值是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】借助誘導(dǎo)公式與輔助角公式化簡(jiǎn)后利用三角函數(shù)值域可得、，即可得的最小值.【詳解】，由，故，則，，且、，即，且、，故當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.4. 已知拋物線，則焦準(zhǔn)距（）A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可得，即可根據(jù)的幾何意義求解.【詳解】由可得，所以，故焦準(zhǔn)距為，故選：D5. 邊長(zhǎng)為2的立方體被一個(gè)平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】當(dāng)截面過(guò)立方體中心且過(guò)兩條側(cè)棱時(shí)，截面面積最大，得出截面后計(jì)算即可得.【詳解】當(dāng)截面過(guò)立方體中心且過(guò)兩條側(cè)棱時(shí)，其截面面積最大，如圖所示矩形符合要求，此時(shí)截面面積為.故選：A.6. ，求的值為（）.A. 922 B. 923 C. 924 D. 925【答案】B【解析】【分析】代入求和公式，算出組合數(shù)的值即可.【詳解】由題意知.故選：B.7. 平面上的兩個(gè)點(diǎn)A()，B()，其中橫縱坐標(biāo)均為自然數(shù)，且不大于5，則兩點(diǎn)之間的距離可以有多少種取值（）A. 19 B. 20 C. 25 D. 27【答案】A【解析】【分析】依題先確定中任意兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的所有可能值有共6個(gè)，推得與的可能的取值都分別有共6個(gè)，再結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，考慮的不同取值即得.【詳解】依題意，，且均不大于5，將其中任意兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值記為，則可能的值有共6個(gè)，而A()，B()之間的距離為,而與的可能的取值都分別有共6個(gè)，故的不同取值可分成五類：①與中有一個(gè)取0，另一個(gè)可取六個(gè)數(shù)，則|AB|的不同取值有：；②與中有一個(gè)取1，另一個(gè)可取五個(gè)數(shù)，則|AB|的不同取值有：；③ 與中有一個(gè)取2，另一個(gè)可取四個(gè)數(shù)，則|AB|的不同取值有：；④ 與中有一個(gè)取3，另一個(gè)可取兩個(gè)數(shù)，則|AB|的不同取值有：⑤ 與中有一個(gè)取4，另一個(gè)可取兩個(gè)數(shù)，則|AB|的不同取值有：.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得，不同的取值共有6+5+4+2+2=19個(gè).故選：A.8. 古希臘著名的約瑟夫環(huán)問(wèn)題講的是：共有127個(gè)士兵，圍成一個(gè)環(huán)，從一號(hào)位的士兵開(kāi)始，每個(gè)存活下來(lái)的人依次殺死相鄰的下一位士兵，若一名叫做約瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最開(kāi)始應(yīng)當(dāng)站在幾號(hào)位上？（）A1 B. 63 C. 127 D. 31【答案】C【解析】【分析】由約瑟夫環(huán)原理，第一輪過(guò)后剩下號(hào)位為1到127的奇數(shù)號(hào)士兵，然后每個(gè)號(hào)位數(shù)加1后除2得到新一輪編號(hào)，進(jìn)行下一輪剩下的是編號(hào)為2的倍數(shù)的士兵，再下一輪剩下的是編號(hào)為4的倍數(shù)的士兵，以此類推，最后剩下的是編號(hào)為64的士兵，即為最開(kāi)始編號(hào)為127的士兵.【詳解】由題意，從一號(hào)位的士兵開(kāi)始，每個(gè)存活下來(lái)的人依次殺死相鄰的下一位士兵，殺死所有偶數(shù)號(hào)士兵后，還剩64個(gè)士兵，號(hào)位為1到127的奇數(shù)號(hào)士兵，每個(gè)號(hào)位數(shù)加1后除2得到新一輪編號(hào)，64是2的冪，則進(jìn)行下一輪剩下的是編號(hào)為2的倍數(shù)的士兵，再下一輪剩下的是編號(hào)為4的倍數(shù)的士兵，以此類推，最后剩下是編號(hào)為64的士兵，即為最開(kāi)始編號(hào)為127的士兵，所以叫做約瑟夫的士兵想要存活到最后，那么他最開(kāi)始應(yīng)當(dāng)站在127號(hào)位上.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：約瑟夫環(huán)原理的內(nèi)容，起始狀態(tài)，有n個(gè)人圍成一圈，每個(gè)人有一個(gè)唯一的編號(hào)從1到n；報(bào)數(shù)規(guī)則，從某個(gè)人開(kāi)始，按照順時(shí)針?lè)较驁?bào)數(shù)，數(shù)到m的人將被移除出圈；重復(fù)過(guò)程，接下來(lái)從下一個(gè)人開(kāi)始繼續(xù)報(bào)數(shù)，直到圈中只剩下一個(gè)人.關(guān)鍵在于理解并應(yīng)用遞推關(guān)系，假設(shè)表示在n個(gè)人中，按照?qǐng)?bào)數(shù)規(guī)則m進(jìn)行，最后存活的人的編號(hào).那么可以通過(guò)遞推公式計(jì)算得出：，這個(gè)公式表明，最后存活的人的編號(hào)是基于初始時(shí)圈中人的排列順序的.此外，約瑟夫環(huán)問(wèn)題也可以使用其他方法解決，例如數(shù)組模擬、鏈表處理或公式法。

這些方法各有優(yōu)劣，但核心原理是相同的，通過(guò)模擬或計(jì)算，找出在特定的報(bào)數(shù)規(guī)則下，最后存活的人的編號(hào).二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知單位向量共面，則下列說(shuō)法中正確的是（）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運(yùn)算法則，以及向量的夾角公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由，可得，即，可得，所以，所以A不正確，B正確；因?yàn)橄蛄繛閱挝幌蛄浚傻?，又由，可得，則，即，可得，所以，因?yàn)椋?，所以C錯(cuò)誤；由，可得，則，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以D正確.故選：BD.10. 已知，，且則以下正確的是（）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】首先利用因式分解法得，再通過(guò)證明，可知只有一解即：，然后把選項(xiàng)中的代換為并進(jìn)行化簡(jiǎn)可得A正確，C錯(cuò)誤，而B(niǎo)D則需要構(gòu)造為關(guān)于的函數(shù)，利用求導(dǎo)法來(lái)判斷單調(diào)性和最值，從而得證．【詳解】由因式分解可得：，又因?yàn)椋芍?，即，又由函?shù)，求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，，可知在上遞減，當(dāng)時(shí)，，可知在上遞增，所以在時(shí)取到最小值為0，有即不等式成立，所以，由可得：，即，對(duì)于選項(xiàng)A，，所以選項(xiàng)A的正確的；對(duì)于選項(xiàng)B，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，由時(shí)，，所以在上遞增，即，因?yàn)?，所以，所以選項(xiàng)B是正確的；對(duì)于選項(xiàng)C，與不可能等價(jià)，所以選項(xiàng)C是錯(cuò)誤的；對(duì)于選項(xiàng)D，，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，由時(shí)，，所以在上遞增，由時(shí)，，所以在上遞減，所以的最大值是，即，所以選項(xiàng)D是正確的；故選：ABD.11. 若，，則下列說(shuō)法中正確的有（）A. B. C. 的解集是 D. 的最小值是 2【答案】ABC【解析】【分析】代入求，即可得A正確，求導(dǎo)即可判斷B正確，定義新函數(shù)求導(dǎo)解不等式即可得到C選項(xiàng)正確，運(yùn)用基本不等式可得到的最小值.【詳解】因?yàn)椋裕珹正確；因?yàn)椋?，所以B正確；的解集，即的解集，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以在R上單調(diào)遞增，且，所以解集為，所以C正確；，當(dāng)，即時(shí)取到最小值為1，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.非選擇題部分 (共92分)三、填空題：本大題共3小題，每題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上.12. 給定定點(diǎn)，對(duì)任意可能的，及函數(shù)的圖象上的任意可能的點(diǎn)，的最小值是______.【答案】##【解析】【分析】先證明，然后給出，，說(shuō)明等號(hào)可以取得即可.【詳解】設(shè)，則..從而無(wú)論怎樣都有，即.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有，此時(shí).所以的最小值是.故答案為：.13. 不計(jì)容器壁厚度的有蓋立方體容器的邊長(zhǎng)是1，向其中放入兩個(gè)小球，則這兩個(gè)小球的體積之和的最大值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方體內(nèi)切球的特征結(jié)合球的體積公式及二次函數(shù)性質(zhì)求最值計(jì)算即可.【詳解】如上圖所示，當(dāng)兩個(gè)小球內(nèi)切于正方體，且兩個(gè)小球也相切，球心位于體對(duì)角線上時(shí)球的體積可取最大，設(shè)兩個(gè)小球的半徑分別為，作出橫截面如下圖，不妨設(shè)分別切于，則有，不妨設(shè)，易知，則，則兩球體積之和為，又，顯然當(dāng)時(shí)取得最大值，此時(shí).故答案為：.14. 橢圓右焦點(diǎn)是F，過(guò)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線AB上存在異于F的點(diǎn)P，使得，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】分類討論直線AB的斜率是否為0，設(shè)設(shè)，聯(lián)立方程，由數(shù)量積結(jié)合韋達(dá)定理可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：，則，因?yàn)橹本€AB過(guò)F，可知直線AB與橢圓必相交，若直線AB的斜率為0，即直線AB為x軸，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，解得，當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)即為點(diǎn)，不合題意；當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)，；若直線AB的斜率不為0，設(shè)，則，聯(lián)立方程，消去x得，則，因?yàn)?，則，可得，整理得，則，，即，可得，因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可得，所以；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決圓錐曲線中范圍問(wèn)題的方法一般題目中沒(méi)有給出明確的不等關(guān)系，首先需要根據(jù)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)及曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)確定不等關(guān)系；然后構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域或引入?yún)?shù)根據(jù)參數(shù)范圍求解，解題時(shí)應(yīng)注意挖掘題目中的隱含條件，尋找量與量之間的轉(zhuǎn)化．四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15. 的角對(duì)應(yīng)邊是a，b，c，三角形的重心是O.已知.（1）求a的長(zhǎng).（2）求的面積.【答案】（1）；（2）18.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角形重心的向量表示，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出a的長(zhǎng).（2）由（1）的信息，利用三角形面積公式，結(jié)合三角形重心的性質(zhì)計(jì)算即得.【小問(wèn)1詳解】在中，由O是重心，得，即有，于是，解得，而，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，又O是重心，所以的面積.16函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間.（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)有，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：在時(shí)恒成立，求的取值范圍；根據(jù)，求出命題成立的必要條件，再驗(yàn)證充分性即可確定的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，定義域?yàn)椋?，即，即，解得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；綜上所述，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問(wèn)2詳解】記，則，所以，根據(jù)題意原題可化為：在時(shí)恒成立，求的取值范圍；因?yàn)?，所以在時(shí)恒成立的必要條件為，即，即；構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以有，即在上恒成立，令，當(dāng)時(shí)，有，所以在上恒成立，因?yàn)椋坏仁絻蛇呁瑫r(shí)乘以，有在上恒成立，即在上恒成立，即時(shí)，在上恒成立，綜上，是在時(shí)恒成立的充要條件，所以的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.17. 已知橢圓：，左右頂點(diǎn)分別是，，橢圓的離心率是.點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，直線與分別交橢圓于另外兩點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程.（2）若，求出的值.（3）試證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合計(jì)算即可得；（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，借助斜率公式計(jì)算即可得；（3）設(shè)出直線方程，聯(lián)立曲線方程，借助韋達(dá)定理與（2）中所得計(jì)算即可得.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，，即，所以，則橢圓；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由于，則；【小問(wèn)3詳解】顯然MN斜率不為0，設(shè)：，，，聯(lián)立方程，則有，，則有，，由于，則，因?yàn)?，故，即，解得或，?dāng)時(shí)，，故舍去，即，適合題意，故: ，則直線過(guò)定點(diǎn).18. 在坐標(biāo)平面內(nèi)的區(qū)域，隨機(jī)生成一個(gè)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的一個(gè)整點(diǎn)，記該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是隨機(jī)變量X相關(guān)公式:（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出X的分布列和期望.（2）記隨機(jī)變量與分別表示的橫縱坐標(biāo).①求出的期望②現(xiàn)在實(shí)際上選取了四個(gè)點(diǎn)嘗試運(yùn)用樣本的平均值去估計(jì)數(shù)學(xué)期望，以此來(lái)得到估計(jì)值 (四舍五入取整).（3）記方差，試證明.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，期望（2）①，②8（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意寫(xiě)出的分布列并計(jì)算期望.（2）①根據(jù)期望的性質(zhì)求解；②根據(jù)已知條件求平均數(shù)，然后求解數(shù)據(jù)；（3）根據(jù)方差的計(jì)算公式，進(jìn)行證明求解.【小問(wèn)1詳解】整點(diǎn)有，故的取值為，則分布列：X012P期望【小問(wèn)2詳解】①，所以②，所以平均數(shù)是 7.75.所以取，四舍五入取【小問(wèn)3詳解】先求,則方差成立19. 復(fù)平面是人類漫漫數(shù)學(xué)歷史中的一副佳作，他以虛無(wú)縹緲的數(shù)字展示了人類數(shù)學(xué)最純粹的浪漫．歐拉公式可以說(shuō)是這座數(shù)學(xué)王座上最璀璨的明珠，相關(guān)的內(nèi)容是，歐拉公式:，其中表示虛數(shù)單位，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)家泰勒對(duì)此也提出了相關(guān)公式:其中的感嘆號(hào)!表示階乘，試回答下列問(wèn)題：（1）試證明歐拉公式．（2）利用歐拉公式，求出以下方程的所有復(fù)數(shù)解．①；②；（3）求出角度的倍角公式(用表示，)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①；②（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)泰勒展開(kāi)式，結(jié)合虛數(shù)的運(yùn)算法則即可證明；（2）利用歐拉公式，同角三角函數(shù)關(guān)系及對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解；（3）根據(jù)二項(xiàng)式定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：令，則因?yàn)樗裕础拘?wèn)2詳解】①因?yàn)?，，所以；②由得，，所以，，由得，?dāng)時(shí)，，所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，，解得，【小問(wèn)3詳解】令實(shí)部相等，即得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第三問(wèn)中，應(yīng)用及二項(xiàng)式定理，結(jié)合復(fù)數(shù)相等即可證明．。