2022-2023學(xué)年安徽省合肥市高一年級下冊學(xué)期5月期中聯(lián)考考試 數(shù)學(xué)【含答案】

2022-2023學(xué)年度第二學(xué)期集中練習(xí)2高一數(shù)學(xué)時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1. 設(shè)，是兩個不共線的平面向量，已知，，若，則（ ）A. 2 B. -2 C. 6 D. -6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)，代入求解即可.【詳解】因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，是兩個不共線的平面向量，故，解得.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量平行求參數(shù)的問題，若，則，屬于基礎(chǔ)題.2. 若復(fù)數(shù)滿足 (為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先求，再用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，從而得到復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】，所以，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C3. 如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件為：存在實(shí)數(shù)，使，且.求得，從而可得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，又三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線定理，可得：，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.4. 一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，B′C′∥y′軸，則四邊形OABC的面積為（　?。〢. B. 3 C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖形可得，則可得四邊形面積，后可得四邊形OABC的面積.【詳解】設(shè)軸與交點(diǎn)為D，因O′C′⊥x′軸，A′B′⊥x′軸，則，又B′C′∥y′軸，則四邊形為平行四邊形，故.又，結(jié)合A′B′⊥x′軸，則，故.則四邊形面積為，因四邊形面積是四邊形OABC的面積的倍，則四邊形OABC的面積為.故選：B5. 設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，有下列四個命題：①，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，則．其中正確命題的序號是（）A. ③④ B. ①② C. ①④ D. ②③【答案】D【解析】【分析】舉例說明判斷AD；利用面面平行的性質(zhì)判斷B；利用線面垂直的性質(zhì)推理判斷C作答.【詳解】對于①，因?yàn)?，?dāng)時，滿足，此時，①錯誤；對于②，因?yàn)?，，則，②正確；對于③，因?yàn)?，，則，又，因此，③正確；對于④，當(dāng)，時，有，，若，滿足，顯然不成立，④錯誤，所以正確命題的序號是②③.故選：D6. 在中，角的對邊分別為，.則的最大值為A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題干得到B=，原式，根據(jù)角A的范圍得到最值即可.【詳解】角的對邊分別為，，變形為：根據(jù)余弦定理，故角B=因?yàn)楣首畲笾禐椋?.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題. 對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.7. 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為3、4、5，則三棱錐P-ABC外接球的體積是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【詳解】由PA、PB、PC兩兩互相垂直為一個頂點(diǎn)出發(fā)的正方體的對角線長為.所以三棱錐P-ABC外接球的半徑為.所以體積為.故選：C8. 如圖,為平行四邊形所在平面外一點(diǎn),為的中點(diǎn),為上一點(diǎn),當(dāng)∥平面時,( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】連接交于,連接,因?yàn)椤纹矫?平面,平面平面,可得∥,結(jié)合已知條件,即可求得答案.【詳解】連接交于,連接,∥平面,平面平面平面,∥,故:①又∥,為的中點(diǎn),②由①②可得:故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)線面平行求線段比例,解題關(guān)鍵是掌握線面平行判定定理,考查了分析能力和空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（每小題5分，共4小題20分）9. 已知向量，，則（）A. B. 向量在向量上的投影向量為C. 與的夾角余弦值為 D. 若，則【答案】BCD【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)的正誤；設(shè)向量在向量上的投影向量為，根據(jù)題意得出，求出的值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量夾角余弦的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，，，所以，與不共線，A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，設(shè)向量在向量上的投影向量為，則，即，解得，故向量在向量上的投影向量為，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，若，則，所以，，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10. 設(shè)復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A. 實(shí)部為2 B. 虛部為C. 模為 D. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)在第四象限【答案】ACD【解析】【分析】將復(fù)數(shù)化簡整理得，依次驗(yàn)證A、B、C、D四個選項(xiàng)，可知B錯誤.【詳解】，知復(fù)數(shù)的虛部為，實(shí)部為2，所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯誤；對于選項(xiàng)C，，所以選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為在第四象限，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11. 如圖是正方體的平面展開圖，則關(guān)于這個正方體的說法正確的是A. 與平行 B. 與是異面直線C. 與成角 D. 與是異面直線【答案】CD【解析】【分析】把平面展開圖還原成幾何體，再由棱柱的結(jié)構(gòu)特征及異面直線定義?異面直線所成角逐一核對四個命題得答案.【詳解】把平面展開圖還原成幾何體，如圖：.由正方體的性質(zhì)可知，與異面且垂直，故錯誤；.與平行，故錯誤；.連接，則，為與所成角，連接，可知為正三角形，則，故正確；.由異面直線的定義可知，與是異面直線，故正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查由正方體的展開圖還原立體圖，直線與直線的位置關(guān)系，直線與直線所成角的判斷，屬于基礎(chǔ)題12. 如圖，透明塑料制成的長方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面幾個結(jié)論，其中正確的命題有（ ）A. 沒有水的部分始終呈棱柱形B. 水面所在四邊形的面積為定值C. 隨著容器傾斜度的不同，始終與水面所在平面平行D. 當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時，為定值【答案】AD【解析】【分析】想象容器傾斜過程中，水面形狀（注意始終在桌面上），可得結(jié)論．【詳解】由于始終在桌面上，因此傾斜過程中，沒有水的部分，是以左右兩側(cè)的面為底面的棱柱，A正確；圖（2）中水面面積比（1）中水面面積大，B錯；圖（3）中與水面就不平行，C錯；圖（3）中，水體積不變，因此面積不變，從而為定值，D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系，考查棱柱的概念，考查學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題．三、填空題（每小題5分，共4小題20分）13. 已知，與的夾角是90°，，，與垂直，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由與垂直，可得，然后將代入化簡可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，與夾角為90°，則，因?yàn)榕c垂直，所以，又，，所以，解得.故答案為：14. 已知，則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】設(shè)，則有，即，則在復(fù)平面中的點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓周上，，，表示與點(diǎn)的距離，如圖所示：由圖可知，，即的最大值為7.故答案為：715. 如圖，一立在水平地面上圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處.若該小蟲爬行的最短路程為，則圓錐底面圓的半徑等于___________.【答案】【解析】【分析】把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)的母線展開，畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】把圓錐側(cè)面沿過點(diǎn)的母線展開成如圖所示的扇形，由題意，，則，所以 ，設(shè)底面圓的半徑為，則，所以.故答案為：.16. 如圖，直角梯形中， ，， ，若將直角梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的表面積為 __________．【答案】;【解析】【詳解】幾何體為一個圓錐與圓柱的組合體，表面積為點(diǎn)睛:空間幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用．四、解答題（第17題10分，第18題12分，第19題12分，第20題12分，第21題12分，第22題12分，共6小題70分）17. 設(shè)向量，滿足，．求的值；求與夾角的正弦值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】利用數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)即可得出；利用向量的夾角公式和數(shù)量積的性質(zhì)即可得出．【詳解】向量，滿足，．，．因此，．設(shè)與夾角為，．．，．與夾角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)、向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．18. 復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．（1）求及；（2）若，求實(shí)數(shù)，的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算求解出復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解；（2）首先將代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實(shí)數(shù)，的值.【小問1詳解】∵，∴．【小問2詳解】由（1）可知，由，得：，即，∴，解得19. 如圖，在棱長為正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）三棱錐中是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，計(jì)算四個三角形面積之和即可求解.（2）正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.【詳解】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.20. 在中，角A、B、C所對的邊分別為，且（1）求角C的大??；（2）若的面積，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】【詳解】試題分析：由，得，即2sinCcosA=2sin（A+C）-sinA，整理可得，2sinAcosC- sinA=0，即sinA（2cosC-）=0，又A,C∈（0，π），∴sinA>0，cosC=,∴（2）由題意得，，∴ . 由余弦定理可得，∴由正弦定理得，∴考點(diǎn)：本題考查正弦定理，余弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用正、余弦定理21. 在正方體中，S是的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）連AC，BD交于點(diǎn)O，連SB，D1O，證明，利用線面平行的判定定理證明即可；（2）證明都平行于平面，然后利用面面平行的判定定理證明即可.【小問1詳解】證明：連AC，BD交于點(diǎn)O，連SB，D1O，G，E分別是SC，BC的中點(diǎn)，，又，則四邊形為平行四邊形，，，平面，平面，平面；【小問2詳解】由題連接OF，A1F，OF是的中位線，，四點(diǎn)共面，由（1）可知，，平面，平面，則平面又,平面，平面，則平面，又，平面,平面,平面平面.22. 已知向量，設(shè)．（1）求函數(shù)的解析式及單調(diào)增區(qū)間；（2）在中，分別為內(nèi)角的對邊，且，求的面積．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換化簡函數(shù)解析式可得，整體代入求解函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可；（2）由，可得，結(jié)合范圍，可得的值，由余弦定理可解得的值，利用三角形面積公式即可得解．【詳解】解：（1）由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，又，則，所以，解得，由余弦定理可得，可得，解得，所以.。