湖南省瀏陽市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷

2024年上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測試卷高一數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知向量，若，則的值為（ ）A.-6 B.-4 C.4 D.62.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.邊長為2的正三角形的直觀圖的面積是（ ）A. B. C. D.4.已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點(diǎn)為球心，圓錐的高為3，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則球的表面積為（ ）A. B. C. D.5.下列說法正確的是（ ）①已知為三條直線，若異面，異面，則異面；②若不平行于平面，且，則內(nèi)的所有直線與異面；③兩兩相交且不公點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面；④若在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于，則，三點(diǎn)共線.A.①② B.③④ C.①③ D.②④6.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時(shí)，其中的兩個(gè)數(shù)據(jù)記錄有誤，一個(gè)錯(cuò)將80記錄為60，另一個(gè)錯(cuò)將70記錄為90.在對(duì)錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)進(jìn)行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（ ）A. B.C. D.7.如圖所示，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別交兩邊于兩點(diǎn)，且，則的最小值為（ ）A.2 B.4 C. D.8.某工業(yè)園區(qū)有共3個(gè)廠區(qū)，其中，現(xiàn)計(jì)劃在工業(yè)園區(qū)內(nèi)選擇處建一倉庫，若，則的最小值為（ ）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.給定一組數(shù)，則（ ）A.平均數(shù)為3 B.標(biāo)準(zhǔn)差為C.眾數(shù)為2 D.分位數(shù)為510.有6個(gè)相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.用表示第一次取到的小球的標(biāo)號(hào)，用表示第二次取到的小球的標(biāo)號(hào)，記事件A：為偶數(shù)，為偶數(shù)，，則（ ）A. B.與相互獨(dú)立C.與相互獨(dú)立 D.與相互獨(dú)立11.正多面體也稱柏拉圖立體（被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)），是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體.已知一個(gè)正八面體的棱長都是2（如圖），則（ ）A.平面B.直線與平面所成的角為C.若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為D.若點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的體積為定值三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，某學(xué)校共有教師200人，按老年教師?中年教師?青年教師的比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個(gè)60人的樣本，則被抽到的青年教師的人數(shù)為__________.13.拋兩枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的點(diǎn)數(shù)分別為，則能夠構(gòu)成三角形三邊長的概率為__________.14.在中，點(diǎn)分別在邊和邊上，且交于點(diǎn)，設(shè).用表示為__________；若為上一動(dòng)點(diǎn)且__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題13分）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準(zhǔn)備從河的這一邊的碼頭處出發(fā)，航行到位于河對(duì)岸（與河的方向垂直）的正西方向并且與相距的碼頭處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當(dāng)小貨船的航程最短時(shí)，求合速度的方向，并求此時(shí)小貨船航行速度的大小.16.（本小題15分）在某電視節(jié)目中，有5位歌手（1到5號(hào)）依次登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名.觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒有偏愛，因此在1至5號(hào)中選3名歌手.（1）求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；（2）表示3號(hào)歌手得到觀眾甲?乙?丙的票數(shù)之和，求“”的事件概率.17.（本小題15分）為了落實(shí)習(xí)主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，某市政府積極鼓勵(lì)居民節(jié)約用水.計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中.（1）求直方圖中的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該市居民用水的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值作為代表）；（2）設(shè)該市有40萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)，并說明理由；（3）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說明理由.18.（本小題17分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，平面，且是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的正切值；（3）求直線與平面所成角的正弦值.19.（本小題17分）任意一個(gè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式都可寫成復(fù)數(shù)三角形式，即，其中為虛數(shù)單位，.棣莫弗定理由法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667~1754）創(chuàng)立.設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù)用三角函數(shù)形式表示為：，則：.如果令，則能導(dǎo)出復(fù)數(shù)乘方公式：.請(qǐng)用以上知識(shí)解決以下問題.（1）試將寫成三角形式；（2）試應(yīng)用復(fù)數(shù)乘方公式推導(dǎo)三倍角公式：；（3）計(jì)算：的值.2024年上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測參考答案（高一數(shù)學(xué)）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.B 2.D 3.A 4.C5.B 6.A 7.C 8.B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.AD 10.ACD 11.AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.18 13. 14.；四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.解：如圖，，，合速度的方向與水流的方向成的角設(shè)小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，小船航行速度的大小為.16.解：（1）設(shè)表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手”，則.事件與相互獨(dú)立，與相互獨(dú)立，則表示事件“甲選中3號(hào)歌手，且乙沒選中3號(hào)歌手”..即觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率是.（2）設(shè)表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”，則，依題意，相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，且彼此互斥.又.，，.17.解：（1）由頻率分布直方圖可得，又，則，該市居民用水的平均數(shù)估計(jì)為：；（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：，則月均用水量不低于2噸的頻率為：，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數(shù)為：（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為0.73，則85%的居民每月的用水量不超過的標(biāo)準(zhǔn)（噸），，，解得，即標(biāo)準(zhǔn)為5.8噸.18.解：平面平面，又四邊形是矩形，，平面，平面，又是的中點(diǎn)，，，所以平面（2）解：底面是矩形，異面直線與所成角即為直線與直線所成的角，由（1）得平面平面，平面為直角三角形，又是的中點(diǎn)，，在中，即為異面直線與所成角，故，異面直線與所成角的正切值為.（3）解：取中點(diǎn)為，連接，在中，分別為線段的中點(diǎn)，故，平面平面，，由（1）得平面平面，，又，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，直線與平面所成角為，則，解得：，故，所以直線與平面所成角的正弦值為19.解：（1）由于，故，則；（2）設(shè)模為1的復(fù)數(shù)為，則由復(fù)數(shù)乘方公式可得故；（3）首先證明：由于，則，則，故，則可得，，所以。