四川省成都市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題[含答案]

四川省成都市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期6月月考試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 的值是（ ）A. B. C. D. 2. 數(shù)據(jù)的方差，則下列數(shù)字特征一定為0的是（ ）A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 極差3. 的虛部是（ ）A. 1 B. C. i D. 4. 已知三點(diǎn)共線，則的值為（ ）A. B. 5 C. D. 35. 如圖，水面高度均為2圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現(xiàn)將圓錐容器內(nèi)的水全部倒入圓柱容器內(nèi)，則倒入前后圓柱容器內(nèi)水的體積之比為（ ）A. B. C. D. 6. 已知中，，則（ ）A. B. C. D. 7. 如圖，四棱錐的底面為矩形，且平面，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A. 直線與平面所成角的正弦值為 B. 平面平面C. D. 二面角的余弦值為8. 崇麗閣之名取自晉代左思《蜀都賦》中的名句“既麗且崇，實(shí)號(hào)成都”．如圖，在測(cè)量府河西岸的崇麗閣高時(shí)，測(cè)量者選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，并測(cè)得米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（ ）A B. C. D. 10. 在某市初三年級(jí)舉行的一次體育統(tǒng)考考試中，共有500人參加考試．為了解考生的成績情況，抽取了樣本容量為n的部分考生成績，已知所有考生成績均在，按照，，，，的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖．若在樣本中，成績落在區(qū)間的人數(shù)為32，則由樣本估計(jì)總體可知下列結(jié)論正確的為（ ）A. B. 考生成績的眾數(shù)為75C. 考生成績的第70百分位數(shù)為76D. 估計(jì)該市考生成績平均分為70.811. 如圖，已知二面角的平面角為，棱上有不同的兩點(diǎn)，．若，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 點(diǎn)到平面的距離是2 B. 直線與直線的夾角為C. 四面體的體積為 D. 直線與平面所成角的正弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12. 已知向量，則 ______ ．13 某小學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，跳繩項(xiàng)目8位選手每分鐘跳繩個(gè)數(shù)：選手選手1選手2選手3選手4選手5選手6選手7選手8個(gè)數(shù)141171160147145171170172則跳繩個(gè)數(shù)的中位數(shù)是______．14. 在三棱柱中，，若，則二面角的余弦值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15. 記內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值．16. 如圖，在四邊形ABCD中，，且，若P，Q為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且. （1）當(dāng)為AD的中點(diǎn)時(shí)，求CP的長度；（2）求的最小值.17. 用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)800名學(xué)生的化學(xué)成績（滿分為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績數(shù)據(jù)60個(gè)．再將40個(gè)男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若成績不低于80分的為“優(yōu)秀”成績，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)；（2）已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．18. 如圖，四邊形為梯形，．等腰直角三角形中，為腰的中點(diǎn)，平面平面． （1）求異面直線與所成角的大??；（2）求證：平面；（3）求與平面所成角的正切值．19. 在四面體中，，記四面體的內(nèi)切球半徑為．分別過點(diǎn)向其對(duì)面作垂線，垂足分別為．（1）是否存在四個(gè)面都是直角三角形的四面體？（不用說明理由）（2）若垂足恰為正三角形的中心，證明：；（3）已知，證明：．成都七中高一下學(xué)期6月考試數(shù)學(xué)試題2024.6.11一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦的和角公式即可求解.【詳解】.故選：C.2. 數(shù)據(jù)的方差，則下列數(shù)字特征一定為0的是（ ）A. 平均數(shù) B. 中位數(shù) C. 眾數(shù) D. 極差【答案】D【解析】【分析】利用方差的定義可得，從而可得結(jié)論.【詳解】，所以方差，所以數(shù)據(jù)，所以極差一定為0.故選：D.3. 的虛部是（ ）A. 1 B. C. i D. 【答案】B【解析】【分析】利用除法運(yùn)算規(guī)則將分母實(shí)數(shù)化，化簡即可.【詳解】，則虛部為.故選：B.4. 已知三點(diǎn)共線，則的值為（ ）A. B. 5 C. D. 3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到方程，求出答案.【詳解】，三點(diǎn)共線，故，即，解得.故選：D5. 如圖，水面高度均為2的圓錐、圓柱容器的底面半徑相等，高均為4（不考慮容器厚度及圓錐容器開口）．現(xiàn)將圓錐容器內(nèi)的水全部倒入圓柱容器內(nèi)，則倒入前后圓柱容器內(nèi)水的體積之比為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)出底面半徑，分別表示出圓錐和圓柱內(nèi)水的體積再求解即可.【詳解】設(shè)圓錐容器的底面半徑為，倒入前圓錐和圓柱容器中水的體積分別為，則,，所以．故選：D.6. 已知中，，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理計(jì)算即得.【詳解】在中，，由余弦定理得：，由正弦定理得.故選：B7. 如圖，四棱錐的底面為矩形，且平面，若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A. 直線與平面所成角的正弦值為 B. 平面平面C. D. 二面角的余弦值為【答案】C【解析】【分析】依題意可得為直線與平面所成的角，即可判斷A，根據(jù)平面及面面垂直的判定定理判斷B，推出矛盾即可判斷C，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，即可得到為二面角的平面角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算判斷D.【詳解】不妨設(shè)，對(duì)于A：連接，因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，則，所以，即直線與平面所成角的正弦值為，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)槠矫?，平面，所以，若，又，平面，所以平面，又平面，所以，則矩形為正方形，所以，與矛盾，故與不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，因，平面，所以平面，又平面，所以，則為二面角的平面角，又，即，解得，所以，所以，即二面角的余弦值為，故D正確.故選：C8. 崇麗閣之名取自晉代左思《蜀都賦》中的名句“既麗且崇，實(shí)號(hào)成都”．如圖，在測(cè)量府河西岸的崇麗閣高時(shí)，測(cè)量者選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，并測(cè)得米，在點(diǎn)處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?，則塔高（ ）A. 米 B. 米 C. 米 D. 米【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)正弦定理求得，進(jìn)而在中，利用求解．【詳解】如圖在中，，，，則，由正弦定理得，所以.在中，，所以米.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9. 已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，則（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)虛根成對(duì)原理得到，即可判斷A；再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算判斷B；利用韋達(dá)定理判斷C，D.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的方程的兩個(gè)根，其中，所以，故A正確；，，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故C不正確；又，故D正確.故選：AD.10. 在某市初三年級(jí)舉行的一次體育統(tǒng)考考試中，共有500人參加考試．為了解考生的成績情況，抽取了樣本容量為n的部分考生成績，已知所有考生成績均在，按照，，，，的分組作出如圖所示的頻率分布直方圖．若在樣本中，成績落在區(qū)間的人數(shù)為32，則由樣本估計(jì)總體可知下列結(jié)論正確的為（ ）A. B. 考生成績的眾數(shù)為75C. 考生成績的第70百分位數(shù)為76D. 估計(jì)該市考生成績的平均分為70.8【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的特征先計(jì)算，再計(jì)算樣本容量判斷A；由頻率分布直方圖計(jì)算眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)并估計(jì)總體判斷BCD.【詳解】對(duì)于A，由頻率分布直方圖得，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，數(shù)據(jù)落在區(qū)間上的頻率最大，因此考生成績的眾數(shù)為75，B正確；對(duì)于C，前兩組的頻率之和為0.46，前三組的頻率之和為0.86，故考生成績的第70百分位數(shù)為，C正確；對(duì)于D，考生成績的平均分為，D錯(cuò)誤．故選：BC11. 如圖，已知二面角的平面角為，棱上有不同的兩點(diǎn)，．若，則下列結(jié)論正確的是（ ） A. 點(diǎn)到平面的距離是2 B. 直線與直線的夾角為C. 四面體體積為 D. 直線與平面所成角的正弦值為【答案】BCD【解析】【分析】補(bǔ)成正三棱柱，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)即可求點(diǎn)面距離判斷A，根據(jù)異面直線夾角定義求解判斷B，根據(jù)等體積法求解判斷C，通過作垂線，找到直線與平面所成角，解三角形求得該角大小，判斷D.【詳解】在平面內(nèi)過作與平行且相等的線段，連接，在平面內(nèi)過作與平行且相等的線段，連接， 補(bǔ)成一個(gè)正三棱柱，是邊長為2的正三角形，所以到平面的距離為點(diǎn)到的距離，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)椋本€與直線的夾角即直線與直線的夾角，又是正方形，所以夾角為，B正確；，所以C正確； 過作于,因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，所以平面，故為直線與平面所成角， 因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?，所以，又，所以是等邊三角形，可得，，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，在中，由勾股定理可得，在中?,故D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12. 已知向量，則 ______ ．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以．故答案為：?3 某小學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)上，跳繩項(xiàng)目8位選手每分鐘跳繩個(gè)數(shù)：選手選手1選手2選手3選手4選手5選手6選手7選手8個(gè)數(shù)141171160147145171170172則跳繩個(gè)數(shù)的中位數(shù)是______．【答案】165【解析】【分析】從小到大排列，選擇第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù).【詳解】按照從小到大排列為，故從小到大選擇第4個(gè)和第5個(gè)數(shù)的平均數(shù)作為中位數(shù)，即.故答案為：14. 在三棱柱中，，若，則二面角的余弦值為______．【答案】【解析】【分析】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接,可證明平面平面，過點(diǎn)作有平面過點(diǎn)作于，連接，則即為二面角的平面角，過點(diǎn)分別作，計(jì)算可求二面角的余弦值.【詳解】連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接．平面，又平面，平面平面．∵平面平面，∴過點(diǎn)作有平面；此時(shí)．過點(diǎn)作于，連接，則即為二面角的平面角，不妨設(shè)，經(jīng)計(jì)算可得：．過點(diǎn)分別作．∵是中點(diǎn)，且為中點(diǎn)，，．二面角的余弦值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15. 記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．（1）試判斷的形狀；（2）若，求周長的最大值．【答案】（1）直角三角形 （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，化簡可得結(jié)論；（2）由（1）可得，進(jìn)而可得周長為，利用輔助角公式可求最大值.【小問1詳解】由，和余弦定理得，即，所以．所以是直角三角形．【小問2詳解】由（1）知是直角三角形，且，可得．所以周長為，所以當(dāng)時(shí)，即為等腰直角三角形，周長有最大值為．16. 如圖，在四邊形ABCD中，，且，若P，Q為線段AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且. （1）當(dāng)為AD中點(diǎn)時(shí)，求CP的長度；（2）求的最小值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合向量的幾何意義和數(shù)量積的定義即可求解；（2）設(shè)（），根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【小問1詳解】由，得，因?yàn)椋?，又，所以；【小?詳解】設(shè)，，則，，所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值，且為.17. 用分層隨機(jī)抽樣從某校高一年級(jí)800名學(xué)生的化學(xué)成績（滿分為100分，成績都是整數(shù)）中抽取一個(gè)樣本量為100的樣本，其中男生成績數(shù)據(jù)40個(gè)，女生成績數(shù)據(jù)60個(gè)．再將40個(gè)男生成績樣本數(shù)據(jù)分為6組：，繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）若成績不低于80分的為“優(yōu)秀”成績，用樣本的頻率分布估計(jì)總體，估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)；（2）已知男生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為71和187.75，女生成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為73.5和119，求總樣本的平均數(shù)和方差．【答案】（1）96 （2）平均數(shù)和方差分別為72.5和148【解析】【分析】（1）求得成績不低于80分的頻率為，可估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù).（2）利用分層抽樣的平均數(shù)與方差計(jì)算公式可求總樣本的平均數(shù)和方差.【小問1詳解】成績不低于80分的頻率為，所以高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)估計(jì)為：．所以估計(jì)高一年級(jí)男生中成績優(yōu)秀人數(shù)為96人．【小問2詳解】設(shè)男生成績樣本平均數(shù)為，方差為，女生成績樣本平均數(shù)，方差為，總樣本平均數(shù)為，方差為．．．所以總樣本的平均數(shù)和方差分別為72.5和148．18. 如圖，四邊形為梯形，．等腰直角三角形中，為腰的中點(diǎn)，平面平面． （1）求異面直線與所成角的大??；（2）求證：平面；（3）求與平面所成角的正切值．【答案】（1） （2）證明見解析 （3）【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得，進(jìn)而由面面垂直的性質(zhì)可得平面，從而可得，可求異面直線與所成角的大?。唬?）可證，結(jié)合（1）可證平面．（3）取的中點(diǎn)為，連接．則，進(jìn)而可得平面，過點(diǎn)作于點(diǎn)，為直線與平面所成的角，求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，于是，所以，又平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以．異面直線與所成角的大小為．【小問2詳解】等腰直角三角形中，，所以．由（1）知，又平面，所以平面．【小問3詳解】取的中點(diǎn)為，連接．則．因?yàn)闉檠闹悬c(diǎn)，，所以平面，從而，又，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．過點(diǎn)作于點(diǎn)．所以平面． 設(shè)與平面所成角為，又，所以．所以直線與平面所成角的正切值為．19. 在四面體中，，記四面體的內(nèi)切球半徑為．分別過點(diǎn)向其對(duì)面作垂線，垂足分別為．（1）是否存在四個(gè)面都是直角三角形的四面體？（不用說明理由）（2）若垂足恰為正三角形的中心，證明：；（3）已知，證明：．【答案】（1）存在； （2）證明見解析； （3）證明見解析.【解析】【分析】（1）作出圖形并推理說明.（2）根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用體積法列式計(jì)算即得.（3）利用體積法建立等式，計(jì)算得，再利用不等式性質(zhì)及基本不等式求解即得.【小問1詳解】存在．在四面體中，若平面，，則四面體的四個(gè)面都是直角三角形.由平面，平面，得，又，平面，則平面，而平面，因此，所以都是直角三角形.【小問2詳解】連接，并延長交于點(diǎn)，連接，由是正的中心，得，是中點(diǎn)，則，，，，，，，于是，所以．【小問3詳解】，，因此，則，顯然，于是，則，所以．。