高等數(shù)學(xué) 直線及其方程

第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程一、空間直線方程一、空間直線方程 二、線面間的位置關(guān)系二、線面間的位置關(guān)系 第七七章 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線空間直線的一般方程空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程方向向量的定義：方向向量的定義：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個(gè)向量稱一條已知直線，這個(gè)向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量/二、空間直線的對(duì)稱式方程二、空間直線的對(duì)稱式方程 與參數(shù)方程與參數(shù)方程直線的對(duì)稱式方程直線的對(duì)稱式方程令令直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為方向向量的余弦稱為直線的直線的方向余弦方向余弦.直線的參數(shù)式方程直線的參數(shù)式方程例例1求求經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的直線方程直線方程解解因?yàn)橹本€過(guò)因?yàn)橹本€過(guò)兩點(diǎn)兩點(diǎn)因此可取因此可取作為直線的方向向量作為直線的方向向量由由點(diǎn)向式即得所求直線的方程為點(diǎn)向式即得所求直線的方程為直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程例例2 2 用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線解一解一用用點(diǎn)向式點(diǎn)向式在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)取取解得解得點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程參數(shù)方程參數(shù)方程令令得得解得解得點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)所求直線方程為所求直線方程為參數(shù)方程參數(shù)方程解二解二用用兩點(diǎn)式兩點(diǎn)式已已求出一點(diǎn)求出一點(diǎn)再再求出一點(diǎn)求出一點(diǎn)兩式相加得兩式相加得代入方程組得代入方程組得即即對(duì)稱式方程對(duì)稱式方程解三解三由由解解所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為取取所求直線方程所求直線方程由由以上幾例可見(jiàn)，求直線方程的思路、步驟：以上幾例可見(jiàn)，求直線方程的思路、步驟：兩定兩定定點(diǎn)、定向定點(diǎn)、定向例例4求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)A(1,2,2),且通過(guò)直線且通過(guò)直線 L的的平面方程。

平面方程解解設(shè)設(shè)所求平面的法向量為所求平面的法向量為由由題設(shè)知點(diǎn)題設(shè)知點(diǎn)為為直線直線L上一點(diǎn)上一點(diǎn)其其方向向量方向向量由于所求平面通過(guò)點(diǎn)由于所求平面通過(guò)點(diǎn)A及及L由由點(diǎn)法式得所求平面方程為點(diǎn)法式得所求平面方程為即即解解所給直線的參數(shù)方程為所給直線的參數(shù)方程為代入平面方程，得代入平面方程，得解得解得將將代入直線的參數(shù)方程，即得代入直線的參數(shù)方程，即得所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為即即交點(diǎn)為交點(diǎn)為例例5求求直線直線與與平面平面的交點(diǎn)定義定義直線直線直線直線兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：/直線直線直線直線例如，例如，解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為根據(jù)題意知根據(jù)題意知取取所求直線的方程所求直線的方程解解先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)M且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)N,令令代入平面方程得代入平面方程得 ,交點(diǎn)交點(diǎn)取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為所求直線方程為所求直線方程為例例 求過(guò)點(diǎn) M0(3,3,0)且與直線 l1:垂直相交的直線 l 的方程.解解：M0M1 l1 設(shè)所求直線 l 與 l1 的交點(diǎn)為M1(x1,y1,z1).則 M0M1 s1=(1,1,2).令 t+t+22t 6=0.t=1,得(x1,y1,z1)=(1,1,2).故直線方程為定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系：/解解為所求夾角為所求夾角五、平面束五、平面束設(shè)有直線設(shè)有直線考慮考慮其中其中因因不成比例不成比例故故不全不全為為 0從而從而表示一個(gè)平面表示一個(gè)平面若若一點(diǎn)一點(diǎn)在在上，上，滿足滿足 和和 的方程的方程則點(diǎn)則點(diǎn)的的坐標(biāo)必同時(shí)坐標(biāo)必同時(shí)則點(diǎn)則點(diǎn)的的坐標(biāo)也滿足坐標(biāo)也滿足因而因而表示過(guò)表示過(guò) 的平面的平面對(duì)于對(duì)于 的不同值的不同值表示過(guò)表示過(guò) 的所有平面的所有平面過(guò)過(guò) 的平面束的平面束一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取一般在具體應(yīng)用時(shí)，常取而而考慮缺考慮缺 或或 的平面束的平面束例例9求求直線直線在在平面平面上的上的投影直線的方程投影直線的方程分析分析過(guò)過(guò)所給直線作一平面與已知平面垂直，所給直線作一平面與已知平面垂直，兩平面的交線即為所求。

兩平面的交線即為所求解解 過(guò)所給直線的過(guò)所給直線的平面束平面束方程為方程為即即這這平面與已知平面垂直的條件是平面與已知平面垂直的條件是所求平面方程為所求平面方程為這這就是過(guò)已知直線且垂直于平面就是過(guò)已知直線且垂直于平面的的平面的方程平面的方程它與它與已知平面已知平面 的交線：的交線：即為即為所求的投影直線的方程所求的投影直線的方程空間直線的一般方程空間直線的一般方程.空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程.兩直線的夾角兩直線的夾角.直線與平面的夾角直線與平面的夾角.（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意兩直線的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）（注意直線與平面的位置關(guān)系）六、小結(jié)六、小結(jié) 作作 業(yè)業(yè) P335 3，4，5，7，9。