安徽省2023～2024學年高一數(shù)學下學期4月期中試題

2023~2024學年度第二學期度期中考查高一數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.若復數(shù)是實數(shù)，則等于（）A.1 B. C. D.不存在2.設(shè)、是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）A.和 B.與C.與 D.與3.在中，角，，對應(yīng)的邊分別為，，，已知，，，則（）A. B. C. D.24.如圖，水平放置的的斜二測直觀圖為，若，則（）A.2 B. C. D.55.已知，為兩個單位向量且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑長為（）A. B.2 C. D.7.如圖，已知點是的重心，過點作直線分別與，兩邊交于，兩點，設(shè)，，則的最小值為（）A.9 B.4 C.3 D.8.在中，，，，是的垂心，若，其中，，則動點的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）A.7 B.14 C. D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.若直線與平面不平行，則與相交B.若直線上有兩個點到平面的距離相等，則C.經(jīng)過兩條平行直線有且僅有一個平面D.如果兩個平面沒有公共點，則這兩個平面平行10.下列命題正確的是（）A.若，是復數(shù)，則B.若復數(shù)的共軛復數(shù)為，C.虛軸上的點對應(yīng)的均為純虛數(shù)D.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的最小值是11.下列說法正確的是（）A.若為非零實數(shù)，且，則與共線B.已知向量，，若，的夾角為銳角，則C.若點滿足，，，則D.若，，則點的軌跡一定通過的內(nèi)心12.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，點在對角線上，則（）A.的最小值為 B.三棱錐體積為C.點到平面的距離為 D.四面體外接球的表面積為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓柱的軸截面為正方形且邊長為4，則該圓柱的體積為______.14.在中，，則最大角的余弦值為______.15.已知圓的半徑為2，弦長，為圓上一動點，則的最大值為______.16.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知，是以為直徑的圓上的兩點，，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為______.圖1 圖2四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知向量，滿足，.（1）若，求向量的坐標；（2）若，求向量與向量夾角的余弦值.18.（本小題滿分12分）（1）已知復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，求及；（2）若關(guān)于的一元二次方程的一個根是，其中，是虛數(shù)單位，求的值.19.（本小題滿分12分）如圖，在中，，，，且，，與交于點.（1）求的值（2）求的值20.（本小題滿分12分）如圖，在正方體中，棱長為，是線段的中點，設(shè)過點、、的平面與棱交于點.（1）畫出平面截正方體所得的截面，并求截面多邊形的面積；（2）平面截正方體，把正方體分為兩部分，求比較小的部分與比較大的部分的體積的比值.（參考公式：）21.（本小題滿分12分）已知的內(nèi)角，，的對邊為，，，且.（1）求；（2）若的面積為；（1）已知為的中點，求底邊上中線長的最小值；（2）求內(nèi)角的角平分線長的最大值.22.（本小題滿分12分）在中，，，對應(yīng)的邊分別為，，，.（1）求；（2）奧古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法國著名數(shù)學家柯西在數(shù)學領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式、柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若，是內(nèi)一點，過作，，垂線，垂足分別為，，，借助于三維分式型柯西不等式：對任意，，，有：，當且僅當時等號成立.求的最小值.安徽師范大學附屬中學2023~2024學年度第二學期期中考查高一數(shù)學參考答案1-4ADAB 5-8BACD9.CD 10.ABD 11.ACD 12.ABD13. 14. 15.6 16.8.【詳解】延長，，分別交，，于，，，如圖，由為垂心，可知在直角三角形中，，，由余弦定理可得，由A，E，H，F(xiàn)四點共圓及正弦定理可得，，由余弦定理，，所以，所以.所以，所以，所以，，其中，則.故選：D16.【詳解】因為，所以，設(shè)圓的半徑為，又，解得（負值舍去），過點作交于點，過點作交于點，則，，所以，同理可得，，將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，則其中一個球缺的體積，圓錐的體積，球的體積，所以幾何體的體積.故答案為：17.（本小題滿分10分）【詳解】（1），，設(shè)，又，，，或.（2），，即，，，即向量與向量夾角的余弦值為.18.（本小題滿分12分）【詳解】（1）由，則，（2）由的一元二次方程的一個根是，且，可知該方程還有另一個根為.由韋達定理，，故得，，.19.（本小題滿分12分）【詳解】（1）因為，，所以，，所以，；因為，，，所以，所以.（3）依題意為向量與的夾角，又所以.20.（本小題滿分12分）【詳解】（1）連接并延長交于，連接交于，則四邊形即為平面截正方體所得的截面.因為是的中點，根據(jù)三角形相似可得：、分別為和的中點，所以在中，，所以截面為梯形，且，，，如下圖所示：分別過點、在平面內(nèi)作，，垂足分別為點、，則易得，所以，梯形的面積為.（2）多面體為三棱臺，，，該棱臺的高為，所以，該棱臺的體積為，故剩余部分的體積為.故比較小的那部分與比較大的那部分的體積的比值為.21.（本小題滿分12分）【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因為，所以，所以；（2）①由（1）知，因為的面積為，所以，解得，由于，所以（當且僅當時，等號取得到），所以，故長的最小值為；②因為為角的角平分線，所以，由于，所以，由于，所以，由于，又，所以，由于（當且僅當時，等號取得到），故，故，即角平分線長的最大值為.22.（本小題滿分12分）【詳解】（1）由正弦定理得，即，，即，，，，若，等式不成立，則，所以.又，所以.（如果得到進行化簡也可以）（2）.又，，，.由三維分式型柯西不等式有.（當且僅當即時等號成立.）由余弦定理，得：，所以即，則.令，則因為解得，（當且僅當時等號成立）.所以.則.令，則在上遞減，當即時，有最大值，此時有最小值.。