高數(shù)復(fù)習(xí)資料(微積分基本定理)

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,5.3,微積分基本定理,問題,:,研究不從定義出發(fā)計算定積分的簡便方法,1,0,兩個問題,(1),在時間段,T,1,T,2,內(nèi),物體經(jīng)過的路程,:,若物體的位置函數(shù),s=,s(t,),則,S(t,),具有性質(zhì),:,(2),設(shè),y,=,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),對任意,x,a,b,面積函數(shù),A(,x,),如圖所示,a,b,x,y,o,A(,x,),具有性質(zhì),:,其中,對一般的積分 是否成立,自然要問,:,則,有,能否求一個函數(shù),F(,x,),使在,a,b,上成立,1:,的函數(shù),F,(,x,),是否有等式,對于求得的在,a,b,上滿足,2:,成立,?,其中,對一般的積分 是否成立,Q:,2,0,微積分第一基本定理及變限積分函數(shù),能否求一個函數(shù),F,(,x,),使在,a,b,先來研究問題一：,上成立：,定理,(,微積分第一基本定理,),若,y,=,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),任取,x,0,a,b,固定,在,a,b,上可導(dǎo),而且,則函數(shù),(1),證明,:,任取,x,a,b,x,0,使,x,+,x,a,b,由于,(,介于,x,與,x,+,x,之間,),注意到,當(dāng),x,0,時,x,及,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),故有,定理說明,:,當(dāng),f,(,x,),在,a,b,上,連續(xù),時,問題一,有解,就是,問題一,的解,函數(shù),說明,:,(1),由式,(1),從而可知,:,微分運(yùn)算“,d,”,與變上限積分運(yùn)算,“”是互逆的運(yùn)算,(2),變上限積分函數(shù) 是表示函數(shù),的重要手段,(,許多工程中的重要函數(shù)用積分,形式表示 如,Fresnel,函數(shù),),它以公式,(1),作,為求導(dǎo)公式,3,0,原函數(shù)和不定積分,問題,如何計算,?,先討論滿足 的函數(shù),F(x,),的性質(zhì),定義,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上有定義,如果對任意,的,x,a,b,都有,或,則稱,F(,x,),為,f,(,x,)(,或,f,(,x,)d,x,),在,a,b,上的一個,原函數(shù),.,定理,(,原函數(shù)存在定理,),如果,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),則 是,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù),即 連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù),.,定理,(,關(guān)于原函數(shù)的性質(zhì),),(1),若,F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù),則對,任意,c,R,F(,x,)+,c,也是,f,(,x,),在,a,b,上的原函數(shù),原函數(shù),(2),若 是,f,(,x,),在,a,b,上的另外兩個,則存在,c,R,使,即,f,(,x,),的任意兩個原函數(shù)之間最多相差一個常數(shù),證明,(2),設(shè),則由,F,1,(,x,),F,2,(,x,),都為,f,(,x,),在,a,b,上的原函數(shù)知,即,從而,F(,x,),在,a,b,上恒等于常數(shù),即存在常數(shù),c,使,F(,x,),c,由此得知,:,在知道,f,(,x,),的一個原函數(shù),F(,x,),之后,則,F(,x,)+,c,(,c,為任意實(shí)數(shù),),表示了,f,(,x,),的所有,原函數(shù),定義,我們把,f,(,x,),在,a,b,上的原函數(shù)的一般,表達(dá)式,F(,x,)+,c,稱為,f,(,x,),在,a,b,上的,不定積分,記為,即,其中,F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上的某一原函數(shù),c,為,任意實(shí)數(shù),.,(1),不定積分 表示一族函數(shù),它涵,蓋了,f,(,x,),在,a,b,上原函數(shù)的全體,現(xiàn)若,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),則變上限積分函數(shù),是,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù),于是有,說明,:,（,3,）,不定積分運(yùn)算與求導(dǎo)運(yùn)算呈互逆 關(guān)系,(,相差一常數(shù)意義下,),這就使我們,可從求導(dǎo)公式來獲得不定積分的計算公式,!,(2),即不定積分運(yùn)算,“,”,與微分,運(yùn)算,“,d”,在相差一,任意常數(shù)的意義下是,“,互逆,”,的,根據(jù)求導(dǎo)公式可得以下,不定積分公式,:,的函數(shù),F(,x,),是否有等式,對于求得的在,a,b,上滿足,問題二,:,成立,?,下面研究,4,0,微積分第二基本定理,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),若能計算出不定積分,從而獲得,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù),F(,x,),則有,令,x,=,a,得,F,(,a,)+c=0,c=,F,(,a,),可得,所以有,定理,(,微積分第二基本定理,),說明,:,(1),牛頓,萊布尼茲公式 把 的計算問題,轉(zhuǎn)化,f,(,x,),在,a,b,上的一個原函數(shù)的計算問題,轉(zhuǎn)化,不定積分 的計算問題,從而回避,從定義計算定積分,(2),前述的,問題一,問題二,得到解決,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),F(,x,),是,f,(,x,),在,a,b,上,的任意一個原函數(shù),則,(,牛頓,萊布尼茲公式,),例,計算,解,首先計算 在,0,1,上的原函數(shù),為此計算,由于,所以,則,F(,x,),在,0,1,上是,的一個原函數(shù),取函數(shù),F(,x,)=,x-,2,arctanx,例,計算,其中,解,變上限積分函數(shù)的進(jìn)一步討論,:,變限積分函數(shù)既然是一函數(shù),就可討論其一系列,的函數(shù)性質(zhì),(,例如,單調(diào)性,最值,凹凸性等,),解,因為,設(shè),f,(,x,),是連續(xù)函數(shù)，而,(,x,),，,(,x,),均為可微,證明,:,若,計算,若記,例,函數(shù),(2),由于,同理可得,所以有,所以有,(1),利用公式,(1),有,(2),解,由,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上,連續(xù)，且,f,(,x,)0,，又,證明,:,(2),F,(,x,)=0,在,a,b,內(nèi)有且僅有一個實(shí)根,例,(1),又,F(,x,),在,a,b,上可微,同時注意到,F,(,x,),嚴(yán)格單調(diào)增,F(,x,),在,a,b,上連續(xù),根據(jù)零值定理知存在,(,a,b,),F()=0,使,有且僅有一個實(shí)根,所以方程,F,(,x,)=0,例,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù),且單調(diào)增,證明,:,解,原問題,構(gòu)造輔助函數(shù),則有,F(,a,)=0,我們希望證明,F(,x,),在,a,b,上單調(diào)增,對任意的,x,a,b,所以,F(,x,),在,a,b,上單調(diào)增,.,于是有,F(,b,),F(,a,)=0,由此證得,例,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù),求證,:,在,(,a,b,),內(nèi)存在,使得,解,設(shè),取,x,=,b,在,x,0,處泰勒展開,有,其中,再取,x,=,a,在,x,0,處泰勒展開,有,其中,即,兩式相減得,即,由于 連續(xù),根據(jù)介值定理,存在,使得,故有,。