浙江省諸暨市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期三模試題

諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1．已知拋物線：，則其焦點到準線的距離為（ ）A． B． C．1 D．42．若關(guān)于的不等式的解集為，則（ ）A．， B．， C．， D．，3．有一組樣本數(shù)據(jù)：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．則關(guān)于該組數(shù)據(jù)的下列數(shù)字特征中，數(shù)值最大的為（ ）A．第75百分位數(shù) B．平均數(shù) C．極差 D．眾數(shù)4．在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（ ）A．0 B．1 C．2 D．45．若非零向量，滿足，則在方向上的投影向量為（ ）A． B． C． D．6．已知，為曲線：的焦點，則下列說法錯誤的是（ ）A．若，則曲線的離心率B．若，則曲線的離心率C．若曲線上恰有兩個不同的點，使得，則D．若，則曲線上存在四個不同的點，使得7．已知函數(shù)滿足：對任意實數(shù)，，都有成立，且，則（ ）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù)C．為偶函數(shù) D．為偶函數(shù)8．設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（ ）A． B． C． D．二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。

在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9．若，則（ ）A． B． C． D．10．已知，為圓上的兩個動點，點，且，則（ ）A．B．C．外接圓圓心的軌跡方程為D．重心的軌跡方程為11．已知函數(shù)有兩個零點，，則下列說法正確的是（ ）A．的值可以取 B．的值可以取C．的值關(guān)于單調(diào)遞減 D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分12．若復(fù)數(shù)滿足：，則復(fù)數(shù)的虛部為_________．13．記為正項數(shù)列的前項積，已知，則_________；_________．14．若正四面體的棱長為1，以三個側(cè)面為底面向外作三個正四面體，，，則外接圓的半徑是_________．四、解答題：本大題共5小題，共77分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．（13分）已知函數(shù)的所有正零點構(gòu)成遞增數(shù)列．（1）求函數(shù)的周期和最大值；（2）求數(shù)列的通項公式及前項和．16．（15分）如圖，在三棱錐中，是正三角形，平面平面，，點是的中點，．（1）求證：為三棱錐外接球的球心；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值最大時的值．17．（15分）已知雙曲線：與直線：交于、兩點（在左側(cè)），過點的兩條關(guān)于對稱的直線、分別交雙曲線于、兩點（在右支，在左支）．（1）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求的值；（2）若直線與雙曲線在點處的切線交于點，求的面積．18．（17分）如圖是一個各棱長均為1米的正四棱錐，現(xiàn)有一只電子蛐蛐在棱上爬行，每次從一個頂點開始，等可能地沿棱爬到相鄰頂點，已知電子蛐蛐初始從頂點出發(fā)，再次回到頂點時停止爬行。

1）求電子蛐蛐爬行2米后恰好回到頂點的概率；（2）在電子蛐蛐停止爬行時爬行長度不超過4米的條件下，記爬行長度為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行（首次回到頂點）的概率記為，求（用表示）19．（17分）若函數(shù)在區(qū)間上有定義，且，，則稱是的一個“封閉區(qū)間”．（1）已知函數(shù)，區(qū)間且的一個“封閉區(qū)間”，求的取值集合；（2）已知函數(shù)，設(shè)集合．（i）求集合中元素的個數(shù)；（ii）用表示區(qū)間的長度，設(shè)為集合中的最大元素．證明：存在唯一長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“封閉區(qū)間”．諸暨市2024年5月高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)參考答案一、單項選擇題（每小題5分，共40分）題號12345678答案BBACBCDC二、多項選擇題（每小題6分，共18分；部分選對的得部分分，有選錯的得0分）題號91011答案ADABCACD三、填空題（每小題5分，13題2分+3分；共15分）12．1 13．2；2025 14．四、解答題（共77分；13分+15分+15分+17分+17分）15．（13分）解：（1）由題可得，因此函數(shù)的周期，最大值．（2）由得，因此函數(shù)的所有正零點為，，，因此是首項為，公差為1的等差數(shù)列；，16．（15分）解：（1）為的中線，且，則為正的中心，又中，，，即為三棱錐外接球的球心（2）是正三角形，點是的中點，．又平面平面，平面平面，平面，平面為直線與平面所成的角又，，即直線與平面所成角的正弦值為（3）坐標法：在平面中，過點作，垂足為，，設(shè)，則，，．建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)，則，，，．設(shè)平面的法向量為，由，得，令，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則．設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，，當時，，此時最大，即當時，平面與平面所成銳二面角的余弦值最大．（3）幾何法：銳二面角要最小，由最大角定理可知，與面所成線面角為平面與平面所成銳二面角時，銳二面角最?。?分）；而為線面角（為的中點），當要為面面角時（2分），由垂面法求面面角知，面面，即（2分）．（實質(zhì)上：本小題條件是多余的；用傳統(tǒng)法求解給相應(yīng)步驟分）17．（15分）解：（1）由題意知直線斜率為1，直線的傾斜角，設(shè)直線、的傾斜角分別為、（、），直線、關(guān)于直線對稱，，．（2）聯(lián)立可得，雙曲線在點處的切線方程為．不妨設(shè)直線為，，，聯(lián)立得，整理得，將等式看作關(guān)于的方程：兩根之和，兩根之積，而其中，由（1）得，直線為，過定點，又雙曲線在點處的切線方程為，過點，，．18．（17分）解：（1）記事件“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行的第米終點為”，“電子蛐蛐爬行米后恰好停止爬行”，則（2）記事件“電子蛐蛐停止爬行時，爬行長度不超過4米”的可能取值為2，3，4，根據(jù)條件概率的知識，可得的分布列為，，，用表格表示的分布列為：234．（3）（，）①②②－①得：，19．（17分）解：（1）由題意，，，恒成立，在上單調(diào)遞增，的值域為，因此只需，，即，則的取值集合為．（2）（i）記函數(shù)，則，由得或；由得；所以函數(shù)在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．其中，因此當時，，不存在零點；，而，在單調(diào)遞減，由零點存在定理可知存在唯一的使得；當時，，不存在零點．綜上所述，函數(shù)有0和兩個零點，即集合中元素的個數(shù)為2．（ii）由（i）得，假設(shè)長度為的閉區(qū)間是的一個“封閉區(qū)間”，則對，，當時，由（i）得在單調(diào)遞增，，即，不滿足要求；當時，由（i）得在單調(diào)遞增，，即，也不滿足要求；當時，閉區(qū)間，而顯然在單調(diào)遞增，，由（i）可得，，，滿足要求．綜上，存在唯一的長度為的閉區(qū)間，使得是的一個“封閉區(qū)間”．。