黑龍江省2023～2024學(xué)年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期5月模擬考試[含答案]

2023-2024學(xué)年度高三年級下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試卷一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則的子集的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.4 D.82.設(shè)（其中為虛數(shù)單位），則（）A. B.C. D.3.甲乙兩名大學(xué)生計劃今年五一假期分別從岳陽樓，常德桃花源，天門山，長沙橘子洲頭，茶峒古鎮(zhèn)五個不同的景區(qū)隨機(jī)選三個景區(qū)前往打卡旅游，則兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有（）A.36種 B.48種 C.60種 D.72種4.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，.....第層有個球，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（）A. B. C. D.5.三個函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則之間的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6.已知函數(shù)，下面說法正確的是（）A.在上的平均變化率為1B.C.是的一個極大值點(diǎn)D.在處的瞬時變化率為27.圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A. B. C. D.8.已知各棱長均相等的正四棱錐各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該球表面積為，則正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分9.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于軸對稱，則（）A.的最小正周期為B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.在是上單調(diào)遞增D.若在區(qū)間上恰有兩個最大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為10.公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，下列說法正確的是（）A. B.C.中最大 D.11.下列選項(xiàng)中正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B.口袋中有大小相同的7個紅球?2個藍(lán)球和1個黑球.從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機(jī)變量，則的數(shù)學(xué)期望C.對標(biāo)有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進(jìn)行檢測，從中任取2件，已知其中一件為正品，則另一件也為正品的概率是D.某射擊運(yùn)動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是7次三?填空題12.在的展開式中，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有__________項(xiàng).13，四邊形中，，且，若，則__________.14，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率，短軸長為.若直線與在第一象限交于兩點(diǎn)，與軸?軸分別相交于兩點(diǎn)，，且，則__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）某地5家超市春節(jié)期間的廣告支出（萬元）與銷售額（萬元）的數(shù)據(jù)如下：超市廣告支出24568銷售額3040606070（1）從這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市個數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及期望；（2）利用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測廣告支出為10萬元時的銷售額.附：線性回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.16.（15分）某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為的一塊扇形空置地（如圖），現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一塊三角形綠地，其中在上，，垂足為，垂足為，設(shè)；（1）求（用表示）；（2）當(dāng)在上運(yùn)動時，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時的值.17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面且，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成鎖二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18.（17分）已知圓的圓心為，圓的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）證明：曲線為雙曲線的一支；（2）已知點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，且.直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請說明理由.19.（17分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有2個零點(diǎn)，求的范圍；（3）若函數(shù)在處取得極值，且存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.大慶中學(xué)2023-2024學(xué)年度高三年級下學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試卷答案1.C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)指數(shù)不等式求出集合，即可求出，從而判斷其子集個數(shù).【詳解】由，即，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，則的子集有個.故選：C2.C【分析】直接把化簡，然后求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】，則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題3.C【分析】利用分步計數(shù)原理，結(jié)合排列組合求解.【詳解】先從5個景點(diǎn)選出2個相同的，有種，再從剩下的3個景點(diǎn)選兩個分配給甲乙二人，有，所以兩人恰好有兩個景區(qū)相同的選法共有種.故選：C.4.D【分析】根據(jù)題意列出數(shù)列的遞推關(guān)系，再利用累加法求出通項(xiàng)公式，最后用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的前100項(xiàng)和.【詳解】由題意得，，當(dāng)時，，以上各式累加得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合上式，所以，所以設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，所以.故選：D.5.B【分析】先判斷各函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理求出函數(shù)零點(diǎn)的范圍，即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)均為增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)椋院瘮?shù)的零點(diǎn)在上，即，因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)在上，即，綜上，.故選：B.6.D【分析】本題運(yùn)用平均變化率公式及運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)并根據(jù)導(dǎo)數(shù)的意義來作出判斷.【詳解】由在上的平均變化率為，所以選項(xiàng)A是錯誤的；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，由，所以選項(xiàng)B是錯誤的；因?yàn)?，?dāng)時，，所以選項(xiàng)C是錯誤的；因?yàn)?，?dāng)時，，所以選項(xiàng)D是正確的；故選：D.7.C【分析】先求出圓的圓心坐標(biāo)，根據(jù)條件可得直線過圓心，從而可得，然后由，展開利用均值不等式可得答案.【詳解】由圓可得標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，該直線經(jīng)過圓心，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：C.8.A【分析】先求棱錐的高，利用球的表面積公式得，然后由求解可得，可求棱錐體積.【詳解】如圖，設(shè)四棱錐的棱長為在底面的射影為，則平面，且為的交點(diǎn)，且，由正四棱錐的對稱性可知在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則其表面積為，所以，則，故，解得或（舍），故正四棱錐的體積為.故選：A.9.BC【分析】首先用輔助角公式化簡函數(shù)，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求出，再結(jié)合三角函數(shù)的周期性，對稱性，單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：因?yàn)椋园训膱D象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，所以，即，又因?yàn)?，所以，對于A，故錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由，得，所以當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，又因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，故C正確；對于D，，因?yàn)榍∮袃蓚€最大值點(diǎn)，所以，所以，故D錯誤.故選：BC.10.ABD【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式，計算可判斷每個選項(xiàng)的正確性，【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，所以，所以，故AB正確；，故C錯誤；由，所以，故D正確.故選：ABD.11.BC【分析】由二項(xiàng)分布的方差公式?超幾何分布的均值公式分別判斷AB，由條件概率與對立事件關(guān)系判斷C，由二項(xiàng)分布的性質(zhì)判斷D.【詳解】A選項(xiàng)，，A錯誤；B選項(xiàng)，服從超幾何分布，，B正確；選項(xiàng)，根據(jù)題意，設(shè)“第一次摸出正品”為事件，“第二次摸出正品”為事件，則，故C正確；選項(xiàng)，設(shè)9次射擊擊中次概率最大，則.解得，所以同時最大，故或D錯誤.故選：BC.12.6【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式可得，易知符合題意，即可求解.【詳解】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，當(dāng)為整數(shù)時，為有理項(xiàng)，所以，即展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)共有6個.故答案為：613.【分析】由題設(shè)可得且，利用相似三角形和向量的線性運(yùn)算將用與的另式表達(dá)，根據(jù)平面向量基本定理列出方程求解即得.【詳解】如圖，由可得且，易得V，則有，于是，因，故得，由，解得：.故答案為：2.14，【分析】結(jié)合題意可得橢圓方程，借助點(diǎn)差法可得，設(shè)出直線的方程，結(jié)合可得其斜率，再借助韋達(dá)定理與弦長公式即可得解.【詳解】由題意得，解得，故橢圓的方程為，設(shè)，線段的中點(diǎn)為，連接，如圖，點(diǎn)在橢圓上，，兩式相減得，則，設(shè)直線的方程為，則，點(diǎn)也為的中點(diǎn)，，，解得，，，故直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，則，則，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率.15.（1）的分布列見解析，期望（2）；預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時的銷售額為87萬元.【分析】（1）根據(jù)超幾何分布的概率公式求解分布列，進(jìn)而可求解期望，（2）利用最小二乘法求解線性回歸方程即可.【詳解】（1）從這5家超市中隨機(jī)抽取3家，記銷售額不少于60萬元的超市有這3家超市，則隨機(jī)變量的可能取值為，的分布列為：123數(shù)學(xué)期望.（2），.關(guān)于的線性回歸方程為；在中，取，得.預(yù)測廣告費(fèi)支出10萬元時的銷售額為87萬元.16.（1）（2）三角形綠地的最大面積是平方米，此時【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)表示出；（2）依題意可得，則，利用三角恒等變換公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】（1）在中，，（米），又，所以，在中，可得（米）.（2）由題可知，的面積又，當(dāng)，即時，的面積有最大值平方米，即三角形綠地的最大面積是平方米，此時.17.（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，求出平面的法向量，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）求出平面的法向量，利用面面角的向量求法計算即得.（3）假定存在符合條件的點(diǎn)，令，求出，再借助線面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在四棱錐中，平面平面，平面平面，又平面，則平面，取的中點(diǎn)，連接，由，得，則，而，于是，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，顯然，則，又平面，所以平面.（2）設(shè)平面的一個法向量為，而，則，令，得，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足條件，令，則，即由（1）知平面的一個法向量，于是，整理得：，即，而，解得，所以在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：用向量法求直線與平面所成的角，求出平面的法向量是關(guān)鍵，并注意公式求出的是線面角的正弦.18，（1）證明見解析（2）直線恒過定點(diǎn)，【分析】（1）根據(jù)題意利用圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出的表達(dá)式，化簡，即可求得的值，即可求得答案.【詳解】（1）證明：由題意知圓的圓心為，圓：的圓心為如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，由題可得圓半徑為3，圓半徑為1，則，所以，由雙曲線定義可知，的軌跡是以為焦點(diǎn)?實(shí)軸長為4的雙曲線的右支又，所以動圓的圓心的軌跡方程為，即曲線的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由題意直線與曲線有兩個交點(diǎn)，則，設(shè)，其中，由韋達(dá)定理得：，又點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則，即，解得（舍去，當(dāng)，直線的方程為，故直線恒過點(diǎn).19.（1）答案見解析（2）（3）【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，即，令，依題意直線與的圖象有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求出參數(shù)的取值范圍；（3）參變分離可得存在，使得成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時，則恒成立，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，解得，由，解得.在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）令，即，因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)有2個零點(diǎn)，所以在有兩根，令，也即直線與的圖象有兩個交點(diǎn)，又，當(dāng)時，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，故在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，，則的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可得，故的取值范圍為；（3）在處取得極值，由（1）得，，，即，解得，則，令；令所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在處取極小值..存在，使得成立，即存在，使得成立，則，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，故，故的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)?不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性?極（最）值問題處理.。