福建省廈門(mén)市2024屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期模擬考試試題[含答案]
秘密★啟用前2024年普通高校招生考試適應(yīng)性檢測(cè)數(shù)學(xué)試題滿分為150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的位置上，用2B鉛筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；在試卷上作答無(wú)效．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆在答題卡上作答，答案必須寫(xiě)在答題卡上各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上，超出指定區(qū)域的答案無(wú)效；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用涂改液．不按以上要求作答的答案無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔和平整．一、單選題1. 若全集，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集、交集的定義求解即得.【詳解】由，得或，而，所以.故選：B2. 若，則（）A. 1 B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及模的計(jì)算公式即可得解.詳解】依題意，，則.故選：B.3. 若三個(gè)不同的平面滿足則之間的位置關(guān)系是（）A. B. C. 或 D. 或與相交【答案】D【解析】【分析】利用正方體中的面面關(guān)系即可求解.【詳解】由可得或與相交，比如在正方體中，平面平面，平面平面，則平面平面，又平面平面，平面平面，但是平面與平面相交，故選：D4. 展開(kāi)式中，的系數(shù)為（ ?。〢. B. 320 C. D. 240【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因，所以通項(xiàng)公式為：，令，所以，設(shè)二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：，令，所以，因此項(xiàng)的系數(shù)為：，故選：A.5. 記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則取最小值時(shí)，的取值為（）A. 6 B. 7 C. 7或8 D. 8或9【答案】C【解析】【分析】要求取最小值時(shí)，先求的通項(xiàng)，由可得，求得，進(jìn)而求得，根據(jù)的正負(fù)情況即可得解.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，所以，所以，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)?shù)娜≈禐?或8時(shí)，取最小值.故選：C6. 設(shè)，，，設(shè)a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后比較．【詳解】解：構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為減函數(shù)，而，，，又，所以，即，故選：A7. 在平行四邊形中，，則的取值范圍是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算律及數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，與同方向的單位向量，由題意，所以，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?故選：A8. 已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，若直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且滿足，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由題意，將直線方程與漸近線方程聯(lián)立，得到，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及離心率公式再進(jìn)行求解即可．【詳解】易知雙曲線的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立，解得，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)椋?，解得，則雙曲線的離心率．故選：C．二、多選題9. 已知函數(shù)的最小正周期大于，若曲線關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. 是偶函數(shù)C. 是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn) D. 在單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】【分析】由最小正周期大于，關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，可知，對(duì)于，直接代入函數(shù)解析式求解即可；對(duì)于，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；對(duì)于，通過(guò)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為，求得的值，并判斷左右兩端函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對(duì)于，通過(guò)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷诖笥?，所以，即，又關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱， 所以，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，對(duì)于，，故正確；對(duì)于，，由且是全體實(shí)數(shù)，所以是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于，，令得，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)，故正確；對(duì)于，由，，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確.故選：.10. 某學(xué)校為了解學(xué)生身高（單位：cm）情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從4000名學(xué)生（該校男女生人數(shù)之比為）中抽取了一個(gè)容量為100的樣本.其中，男生平均身高為175，方差為184，女生平均身高為160，方差為179.則下列說(shuō)法正確的是參考公式：總體分為2層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，，，，.記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則（）參考公式：A. 抽取的樣本里男生有60人B. 每一位學(xué)生被抽中的可能性為C. 估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為170D. 估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為236【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的公式，以及利用每層樣本的平均數(shù)和方差公式，代入總體的均值和方差公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于項(xiàng)，抽取的樣本里男生有人，所以A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由題可知，每一位學(xué)生被抽中的可能性為，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的平均值為，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，估計(jì)該學(xué)校學(xué)生身高的方差為，所以D項(xiàng)正確.故選：ABD11. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，，且，則（）A. 的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象變換及其對(duì)稱性，可得判定A正確；結(jié)合和，化簡(jiǎn)得到，可判定B不正確；令，得到，得到函數(shù)和是以4為周期的周期函數(shù)，結(jié)合，可判定C正確；結(jié)合，，，得到，結(jié)合是以4為周期的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，可得關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，解得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以A正確；對(duì)于B中，由函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，可得，因?yàn)?，可得，則，兩式相減得，即，所以B不正確；對(duì)于C中，令，可得，因?yàn)?，所以，所以函?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，則是以4為周期的周期函數(shù)，所以，由，可得，即，令，可得，所以，所以，所以，所以C正確；對(duì)于D中，因?yàn)?，且函?shù)關(guān)于對(duì)稱，可得，又因?yàn)椋?，可得，所以，再令，可得，所以，由，可得，可得又由函?shù)是以4為周期的周期函數(shù)，且，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】知識(shí)結(jié)論拓展：有關(guān)函數(shù)圖象的對(duì)稱性的有關(guān)結(jié)論（1）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于直線對(duì)稱（時(shí)，為偶函數(shù)），則①；②；③.（2）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱（時(shí)，為奇函數(shù)），則①；②；③.（3）對(duì)于函數(shù)，若其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則①；②；③.三、填空題12. 已知圓臺(tái)的側(cè)面積與軸截面的面積之比為，若上、下底面的半徑分別為1和2，則母線長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】2【解析】【分析】設(shè)圓臺(tái)母線長(zhǎng)為，根據(jù)圓臺(tái)的側(cè)面積公式和梯形面積公式分別計(jì)算側(cè)面積和軸截面面積，由條件列方程求母線長(zhǎng).【詳解】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，高為，則，因?yàn)閳A臺(tái)上、下底面的半徑分別為1和2，所以圓臺(tái)的側(cè)面積，軸截面面積，由已知，化簡(jiǎn)得，所以解得．故答案為：2.13. 已知曲線在處的切線與圓相交于、兩點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】【分析】先求出函數(shù)在處的切線方程，再由圓內(nèi)弦長(zhǎng)公式求得即可.【詳解】由，定義域?yàn)?，，則切線斜率，又，所以切線方程為：，化簡(jiǎn)為：；又因?yàn)閳A的圓心，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，則.故答案為：14. 德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子．他年幼時(shí)，在的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而生成．此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算出的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，利用倒序相加求出，從而得到，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得到，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱．因?yàn)椋?，兩式相加得，所以．由，得，所以．令，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的對(duì)稱性：若，則函數(shù)關(guān)于中心對(duì)稱，若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.四、解答題15. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為．分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，且．（1）求角；（2）若，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到，利用余弦定理求得，即可求解；（2）設(shè)，在和中，利用正弦定理化簡(jiǎn)得到，結(jié)合三角函數(shù)基本關(guān)系式，聯(lián)立方程組，求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：由分別以為邊長(zhǎng)的正三角形的面積依次為，則，可得，由余弦定理得，因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)（其中為銳角），在和中，由正弦定理可得且，于是，又因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得，因?yàn)?，?lián)立方程組，解得，即.16. 某校為慶祝元旦，舉辦了游園活動(dòng)，活動(dòng)中有一個(gè)填四字成語(yǔ)的游戲，游戲規(guī)則如下：該游戲共兩關(guān)，第一關(guān)中四字成語(yǔ)給出其中三個(gè)字，參與游戲者需填對(duì)所缺的字，才能進(jìn)入第二關(guān)；第二關(guān)中四字成語(yǔ)給出其中兩個(gè)字，剩余兩個(gè)字全部填對(duì)得10分，只填一個(gè)且填對(duì)得5分，只要填錯(cuò)一個(gè)或兩個(gè)都不填得0分．（1）已知小李知道該成語(yǔ)的概率是，且小李在不知道該成語(yǔ)的情況下，填對(duì)所缺的字的概率是，在小李通過(guò)第一關(guān)的情況下，求他知道該成語(yǔ)的概率．（2）在過(guò)第二關(guān)時(shí)，小李每個(gè)字填與不填是等可能的，且每個(gè)字填對(duì)與填不對(duì)也是等可能的．記表示小李在第二關(guān)中得到的分?jǐn)?shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）利用全概率公式和條件概率公式計(jì)算即可；（2）首先得到的可能取值為0，5，10，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式一一計(jì)算分布列，最后得到其數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】記事件為“小李通過(guò)第一關(guān)”，事件為“小李知道該成語(yǔ)”，則，由全概率公式可得，則所求概率為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)事件表示小明填了個(gè)字，表示填到的字都是正確的.的可能取值為0，5，10，，，.隨機(jī)變量的分布列為故.17. 如圖，四棱臺(tái)的底面為菱形，，點(diǎn)為中點(diǎn)，．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接、，即可證明平面，從而得到，再由勾股定理逆定理得到，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】連接、，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以是邊長(zhǎng)為的正三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，所以，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平? 【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，得，所以，由題意知，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.18. 已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若恒成立，求最小值．【答案】（1）極大值；極小值（2）【解析】【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)單調(diào)性，求得極值. （2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合已知條件得方程有兩個(gè)相異的正根，利用為韋達(dá)定理求得，再結(jié)合，求出范圍，進(jìn)而確定的范圍，由，得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，有，令，即，解得或，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以時(shí)，取得極大值，極大值為，時(shí)，取得極小值，極小值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以由已知函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)相異的正根所以，即或，又，所以，，所以；所以對(duì)稱軸為，二次函數(shù)與軸交點(diǎn)為、，且，所以在對(duì)稱軸的右側(cè)，則有，因?yàn)椋?，所以，其中，令，則，令，解得均不在定義域內(nèi)，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，所以，即最小值為.19. 已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為. 點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，設(shè)，.（1）求橢圓的方程；（2）證明：為定值；（3）已知，用表示的面積，并求出的最大值.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析 （3），【解析】分析】（1）根據(jù)條件得到，求出，即可求出結(jié)果；（2）設(shè)，，利用條件得，，再利用，在橢圓上，即可得到，，從而證明結(jié)果；（3）利用，再根據(jù)條件得到，最后使用不等式求出最大值.【小問(wèn)1詳解】由題知，得到，又，解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，設(shè)，，則，，，，由，得到，所以，又在橢圓上，所以，即.又，故，即.將其展開(kāi)，得到，即.從而，即，易知，所以，得到，同理，由，得到，所以，又在橢圓上，所以，即.又，故，即.將其展開(kāi)，得到，即.從而，即，易知，所以，得到，所以，即為定值.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，又因?yàn)?，，故?所以，，從而.又，故.然后考慮的最大值.首先，由于，故.同時(shí)由可知，故，從而，故.這意味著；另一方面，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)是時(shí)，有，，此時(shí).所以的最大值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（3）問(wèn)，利用，再結(jié)合條件得到，再利用不等式來(lái)求出最大值.。
