高等數(shù)學(xué)定積分試題

單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,定積分 習(xí)題課,一、主要內(nèi)容,問題1:,曲邊梯形的面積,問題2:,變速直線運動的路程,定積分,存在定理,廣義積分,定積分,的性質(zhì),牛頓-萊布尼茨公式,定積分的,計算法,二、內(nèi)容提要,1 定積分的定義,定義的實質(zhì),幾何意義,物理意義,2 可積和 可積的兩個,充分,條件,3 定積分的性質(zhì),線性性,可加性,非負(fù)性,比較定理,估值定理,積分中值定理,積分中值公式,若,M,和,m,是,變上限定積分及其導(dǎo)數(shù),牛頓萊布尼茨公式,定積分的計算法,（,1）換元法,換元積分公式,（,2）分部積分法,分部積分公式,微積分基本公式,利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)的性質(zhì)簡化定積分的計算,廣義積分,(1)無窮限的廣義積分,(2)無界函數(shù)的廣義積分,三、典型例題,例1,解,例,2,廣義積分中值定理,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，,g,(,x,),在,a,b,上可積，且不變號，則,證,因,f,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，故,f,(,x,),在,a,b,上必取得,最大值,M,和最小,m,，,又,g,(,x,),在,a,b,上不變號,故不妨設(shè),若,則由上式知,可取,a,b,內(nèi)任一點,若,由介值定理,例3,證明,證一,由廣義積分中值定理,證二,例4,求極限,證三,解,如果能把數(shù)列的通項寫成,的形式,就可以利用,或,把數(shù)列極限問題轉(zhuǎn)化為定積分,的計算問題,與數(shù)列的極限有著密切聯(lián)系,由以上兩例可見，連續(xù)函數(shù),f,(,x,),的定積分,證明,Cauchy,-Schwarz,不等式,證,例7,記,則,另證,定積分不等式的證明方法,輔助函數(shù)法,將,一個積分限換成變量，移項使一端為 0,另一端即為所求作的輔助函數(shù),F,(,x,),判定單調(diào)性，與端點的值進(jìn)行,比較即得證,例8,設(shè),求,解,這是 型未定式的極限,解,由,L,Hospital,法則,a,=0,或,b,=1,將,a,=0,代入知不合題意,故,b,=1,例9 試確定,a,b,的值使,證明,證一,由定積分的定義,（因,f,(,x,),是凸函數(shù)）,證二,記,則,a,0,例10 設(shè),上凸,故其上任一點的切線都在曲線的上方,在,x,=,a,處的切線方程為,證三,易證明當(dāng),t,0,時有,或,又曲線,例11,設(shè),f,(,x,),在,a,b,上連續(xù)且,f,(,x,)0,證明,令,則,F,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，在(,a,b,),內(nèi)可導(dǎo),即,F,(,x,),單調(diào)增,設(shè),則,由介值定理得,即,證,解,例12,例13 設(shè),f,(,x,),在 0,1 上連續(xù)，且單調(diào)不增,證明 對任何,有,證一,由,積分中值定理,再由,f,(,x,),單調(diào)不增,證二,則,F,(1)=0,再由,f,(,x,),單調(diào)不增,證三,證四,證五,由,f,(,x,),單調(diào)不增,例,14 計算,解一,=0,=0,解二,由定,積分換元法知,例,15,證明 方程,在(0,1)內(nèi)至少有一根,證,則,F,(,x,),在 0,1 上連續(xù)，在 (0,1)內(nèi)可導(dǎo),由,Rolle,定理,在(0,1)內(nèi)至少有一根,例,16 已知周期為,L,的函數(shù)在,上是,連續(xù)的奇函數(shù)，證明,也是以,L,為周期的函數(shù),證一,對稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分,證二,例,18 設(shè),f,(,x,),g,(,x,),在 ,a,b,上連續(xù)，證明,證,關(guān)鍵在于作出輔助函數(shù),F,(,x,),則,F,(,a,),F,(,b,),的符號不易判別，得不出結(jié)論,兩邊積分得,則,F,(,x,),在,a,b,上連續(xù)，在(,a,b,),內(nèi)可導(dǎo),且,F,(,a,)=,F,(,b,)=0,由,Rolle,定理知,注：,輔助函數(shù)法,證明定積分等式主要,適用于證明在積分限中至少存在一點,使等式成立的命題,移項使一端為 0,另一端即為,驗證,F,(,x,),滿足介值定理或,Rolle,定理,。