高等數(shù)學中求導法則

單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,第二節(jié),二、反函數(shù)的求導法則,三、復合函數(shù)求導法則,四、初等函數(shù)的求導問題,一、四則運算求導法則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,函數(shù)的求導法則,第二章,思路,:,(,構造性定義,),求導法則,其它基本初等函數(shù)求導公式,證明中利用了,兩個重要極限,初等函數(shù)求導問題,本節(jié)內(nèi)容,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,一、四則運算求導法則,定理,1.,的和、,差、,積、,商,(,除分母,為,0,的點外,),都在點,x,可導,且,下面分三部分加以證明,并同時給出相應的推論和,例題,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,此法則可推廣到任意有限項的情形,.,證,:,設,則,故結論成立,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如,(2),證,:,設,則有,故結論成立,.,推論,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(,C,為常數(shù),),例,1.,解,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(3),證,:,設,則有,故結論成立,.,推論,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,(,C,為常數(shù),),例,2.,求證,證,:,類似可證,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,二、反函數(shù)的求導法則,定理,2.,y,的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導,證,:,在,x,處給增量,由反函數(shù)的單調(diào)性知,且由反函數(shù)的連續(xù)性知,因此,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,3.,求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù),.,解,:,1),設,則,類似可求得,利用,則,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2),設,則,特別當,時,小結,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,在點,x,可導,三、復合函數(shù)求導法則,定理,3.,在點,可導,復合函數(shù),且,在點,x,可導,證,:,在點,u,可導,故,（當 時,),故有,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例如,關鍵,:,搞清復合函數(shù)結構,由外向內(nèi)逐層求導,.,推廣,：,此法則可推廣到多個中間變量的情形,.,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,5.,設,求,解,:,思考,:,若,存在,如何求,的導數(shù),?,這兩個記號含義不同,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,6,.,設,解,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,四、初等函數(shù)的求導問題,1.,常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù),(P100-101),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,2.,有限次四則運算的求導法則,(,C,為常數(shù),),3.,復合函數(shù)求導法則,4.,初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導,且導數(shù)仍為初等函數(shù),機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,7.,求,解,:,例,8.,設,解,:,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,9.,求,解,:,關鍵,:,搞清復合函數(shù)結構,由外向內(nèi)逐層求導,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,10.,設,求,解,:,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,備用題,1,.,設,解：,2.,設,解,:,其中,可導,求,求,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,22,觀察函數(shù),方法,:,先在方程兩邊取對數(shù),對數(shù)求導法,-,適用范圍,:,二、對數(shù)求導法,然后利用求導方法求出導數(shù),.,23,1),對冪指函數(shù),可用對數(shù)求導法求導,:,說明,:,按指數(shù)函數(shù)求導公式,按冪函數(shù)求導公式,注意,:,24,例,1.,.,解,:,兩邊取對數(shù),化為對隱式求導數(shù),兩邊對,x,求導,求,25,例,3,對,x,求導,兩邊取對數(shù),求,三、相關變化率,為兩可導函數(shù),之間有聯(lián)系,之間也有聯(lián)系,稱為,相關變化率,相關變化率問題解法,:,找出相關變量的關系式,對,t,求導,得相關變化率之間的,一般關系式,問題：利用其中一個變化率求出未知的相關變化率,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,例,7.,一氣球從離開觀察員,500 m,處離地面鉛直上升,其速率為,當氣球高度為,500 m,時,觀察員,視線的仰角增加率是多少,?,解,:,設氣球上升,t,分后其高度為,h,仰角為,則,兩邊對,t,求導,已知,h,=500m,時,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束,。